Mean hitting/exit time

[Gortaur]

Прошу прощения за нерусское заглавие - русских терминов аналогичных не знаю. Для Марковского процесса в дискретном времени стоит задача

$$ \mathsf E_x[\tau_A] $$

где

$$ \tau_A = \inf\{n\geq 0: X_n\in A\}. $$

Где можно найти литературу по этому поводу? Нужно очень срочно - а видел только по Марковским процессам на конечном пространстве, да и то интернет лекции. Заранее благодарен.

[PAV]

В каком пространстве принимает значения процесс $X_n$ и как он задан?

[Gortaur]

$X_n$ задан на Польском пространстве: сепарабельном, метрическом и полном. Задан через ядро $K(x,A) = \mathsf P_x\{X_1\in A\}$. Процесс не зависит от времени.

[PAV]

Gortaur в сообщении #489736 писал(а):

Процесс не зависит от времени.

То есть события $\{X_n\in A\}$ для разных $n$ независимы? Тогда это очень просто, и собственно процессы тут ни при чем, смотрите геометрическое распределение.

[--mS--]

Gortaur в сообщении #489732 писал(а):

Прошу прощения за нерусское заглавие - русских терминов аналогичных не знаю. Для Марковского процесса в дискретном времени стоит задача

$$ \mathsf E_x[\tau_A] $$

Задача чего? Вычисления указанного математического ожидания?

Может, конечно, я чего-то не понимаю... Ну, допустим, перед нами самый простой марковский процесс - случайное блуждание, порождённое независимыми и одинаково распределёнными случайными величинами. Допустим, перед нами самое простое множество, которого мы собираемся достичь: положительная полуось. Всё, что можно в этой ситуации выписать про распределение или про математическое ожидание времени первого достижения - это разные соотношения типа двойных производящих функций (факторизационные теоремы) или тождества Вальда, причём и в том, и в другом завязано вместе с $\tau_A$ ещё и положение блуждания в момент $\tau_A$. Ну ещё можно сформулировать условия, при которых время первого достижения является собственным (п.н. конечным). А какие-то явные формулы для распределений/математических ожиданий возможны только в исключительных случаях, типа показательных хвостов, симметричных блужданий, полунепрерывных снизу-сверху блужданий, да и всё.
А мы хотим для произвольного однородного марковского процесса и произвольного множества $A$ получить матожидание времени первого достижения? Или мы хотим чего-то другого?

-- Чт окт 06, 2011 00:45:37 --

PAV в сообщении #489767 писал(а):

То есть события $\{X_n\in A\}$ для разных $n$ независимы? Тогда это очень просто, и собственно процессы тут ни при чем, смотрите геометрическое распределение.

Зависимы. То, что ТС назвал "независимостью от времени", по-русски (да и на прочих языках тоже) принято называть однородностью по времени: переходное ядро $\mathsf P(X_{n+1}\in A \,|\, X_n=x)=K(x,\,A)$ от $n$ не зависит.

[Gortaur]

--mS--
Спасибо за помощь в терминологии - в английском я встречал как time-homogeneous, так и time-independent. Насчет МО - мне явные формулы без надобности, я разрабатываю численные методы для нахождения в том числе и такого МО с точной границей на ошибку вычислений. Чтобы это сделать, нужно иметь уравнение типа

$$ \mathsf E_x[\tau_A]=:f(x) = 1_{A^c}(x)\left(1+\int\limits_\mathcal X f(y)K(x,dy)\right) $$

и утверждение, что $f$ является минимальным неотрицательным решение такого уравнения. Такие факты я нашел для Марковских цепей здесь. Их несложно доказать для произвольного процесса - но я-то думаю, что это уже доказано. Так что мне надо и почитать такой материал, и сослаться на него.

Распределение его, кстати, считается несложно. Ну кроме вероятности $\mathsf P_x\{\tau_A=\infty\}$, но с ней я уже разобрался. Мне просто легче (и грамотнее) будет работать через уравнение, чем через определение МО через сумму по распределению. В любом случае, материал почитать надо по данной теме. В Боровкове нет, Мейн и Твиди нет, Ширяеве не нашел, в Дынкине упоминается на полстраницы, но бегло и для непрырвного времени.

Кстати, не в тему - можно будет Вам задать вопрос по эргодическим теоремам, как специалисту?

[--mS--]

Gortaur в сообщении #489980 писал(а):

--mS--
Чтобы это сделать, нужно иметь уравнение типа

$$ \mathsf E_x[\tau_A]=:f(x) = 1_{A^c}(x)\left(1+\int\limits_\mathcal X f(y)K(x,dy)\right) $$

и утверждение, что $f$ является минимальным неотрицательным решение такого уравнения.

Само уравнение очевидно, ибо формула полной вероятности. Правда, обычно временем достижения называют всё же наименьшее $n\geqslant 1$, а не от нуля считают. Про минимальность - не в курсе.

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #489980 писал(а):

Кстати, не в тему - можно будет Вам задать вопрос по эргодическим теоремам, как специалисту?

Увы, я ни разу не специалист в эргодических теоремах. Например, не могу похвалиться тем, что осилила, скажем, книгу Майна (он Шон Майн) и Твиди хотя бы настолько, чтобы мочь использовать её как справочник.

[Gortaur]

--mS--
От нуля удобнее (ну вот так вот) - да и в тех же лекция было так определено. Будем писать письмо автору лекций значит.

(Оффтоп)

Жаль - хотелось бы посоветоваться, правильно ли я понимаю ограниченность их применения. Шона Майна называю как мой научник произносит, не знал что надо через а. Книгу их замечательной мне сложно назвать, так лучше вообще не писать, ну да кто я такой

[Gortaur]

Автор ответил, что его аргументы переносятся легко на общий случай и по его воспоминаниям Майн и Твиди работали над данной проблемой, больше ничего посоветовать не может. Такие дела, да...