Исследование выпуклости функции

[strange5]

Добрый день. Помогите, пожалуйста, разобраться с исследованием функции на выпуклость.
$Z=5-x_1^2-x_2^2$
Как исследовать функцию от одной переменной, понятно, а в этом случае возникли проблемы.

[nnosipov]

Это перевёрнутый параболический стакан. Чтобы формально убедиться в его выпуклости, можно взять произвольную точку на его поверхности, провести через неё касательную плоскость и убедиться, что сама поверхность будет располагаться ниже этой касательной плоскости.

[ewert]

strange5 в сообщении #489682 писал(а):

Помогите, пожалуйста, разобраться с исследованием функции на выпуклость.

Что является достаточным условием выпуклости?...

Это во-первых. А во-вторых, выпуклость функции нескольких переменных -- это выпуклость сужения этой функции на любую прямую, т.е. на любое множество вида $\{\vec x=\vec a+t\vec b\}_{\forall t}$. Сузьте -- и получите столь желанную Вам функцию одной переменной.

[Cash]

Цитата:

сама поверхность будет располагаться ниже этой касательной плоскости

Это вроде как условие вогнутости? или все-таки выпуклости?

P.S. В Википедии совершенно потрясное замечание:

Цитата:

NB! Иногда выпуклая функция определяется как вогнутая и наоборот

После такого математика вполне может побороться с философией за право называться самой точной наукой.

[ewert]

Cash в сообщении #489695 писал(а):

Это вроде как условие вогнутости? или все-таки выпуклости?

Это непринципиально (т.е. лишь вопрос договорённости, и в каждой конкретной задаче конкретно и договариваются).

[Praded]

Если рассмотреть функцию так $Z=5-\left(x_1^2+x_2^2\right)$, то выпуклость проявляется почти визуально.

[strange5]

Понятно, спасибо за ответы.
Точнее, не совсем понятно )) вот в функции от одной переменной надо найти производную второго порядка и смотреть, где она > или < 0. Что нужно искать и сравнивать, если переменных две? Какой алгоритм в случае где $Z=f($x_1, $x_2)?

Praded в сообщении #489697 писал(а):

Если рассмотреть функцию так $Z=5-\left(x_1^2+x_2^2\right)$, то выпуклость проявляется почти визуально.

А если $Z=e^{($2x_1-$x_2)}?

[Cash]

Цитата:

Что нужно искать и сравнивать, если переменных две? Какой алгоритм в случае где $Z=f(x_1, x_2)$?

Рассматриваете второй дифференциал как квадратичную форму от дифференциалов независимых переменных и проверяете ее на знакоопределенность

[Praded]

strange5 в сообщении #489701 писал(а):

А если ...?

Вот когда зададите подобный вопрос, то и получите соответствующий ответ.