Пару вопросов по тригонометрии(Школьный курс)

[prowoke]

Здравствуйте. Вот у меня есть такой пример:

Вычислить:
$ \cos(\arcsin \frac{8}{17}) $
Я представляю:
$ \sin t = \frac{8}{17} t \in [0; \frac{\pi}{2}] \cos^2 t = 1 - \frac{64}{289} \cos^2 t = \frac{225}{289} \cos t = \frac{15}{17} \cos t = - \frac{15}{17} $

Т.к. $ t \in [0; \frac{\pi}{2}] $
То $ \cos t = \frac{15}{17} $

Но в ответе $ \cos t = - \frac{15}{17} $

В чём я не прав?


И вот ещё пару заданий:

Решить уравнения:

$ 2\cos x - 3 \sin x \cdot \cos x = 0 2\cos x = 3 \sin x \cdot \cos x 2 = 3\sin x \sin x = \frac{2}{3} x = \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi n $

Это моё решение, но в ответе:

$ \frac{\pi}{2} + \pi k, (-1)^k \cdot \arcsin \frac{2}{3} + \pi k $

Откуда $ \frac{\pi}{2} $взялось? Я понимаю, что если подставить $ \frac{\pi}{2} $ в уравнение, то я получу верное решение, но как придти к этому x?


И вот второе задание:

$ 2\sin^2 x - 1 = 0 \sin x = z 2z^2 = 1 z^2 = \frac{1}{2} $

В ответе:

$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $

Опять где то ошибка. В общем помогите, пожалуйста.

[PAV]

В первом задании мне кажется, что у Вас все правильно. Откуда в ответе минус - непонятно.

А во втором Вы сократили равенство на $\cos x$, потеряв при этом решения, получающиеся из уравнения $\cos x=0$.
Сокращать равенство можно только на ненулевой сомножитель, иначе теряются решения.

[AKM]

В первом Вы правы, ответ ошибочный.

[PAV]

В третьем у Вас никакой ошибки нет, просто до ответа не доведено. Вам нужно решить два уравнения $\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ и объединить решения.

[prowoke]

PAV в сообщении #489666 писал(а):

В третьем у Вас никакой ошибки нет, просто до ответа не доведено. Вам нужно решить два уравнения $\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ и объединить решения.

Ну так я и получу
$ \sin x = \frac{1}{\sqrt 2} x = \arcsin \frac{1}{\sqrt 2} + 2 \pi n И \sin x = - \frac{1}{\sqrt 2} x = \arcsin (- \frac{1}{\sqrt 2} ) + 2 \pi n $

[AKM]

Неплохо бы такие хорошие арксины узнавать в лицо и сразу явно выписывать.
И посмотреть на 5 штучек из первого множества, и на 5 штучек из второго.
И потом 10 штучек из ответа выписать, сравнить...

И всю формулу заносить в доллары, $x = ... $, а не так: x = $ ... $

-- 06 окт 2011, 10:06 --

Ой, да Вы, кажется, уравнение $\sin x=a$ плохо решаете... На график взгляните, сколько Вы корней потеряли!

[prowoke]

AKM в сообщении #489939 писал(а):

Ой, да Вы, кажется, уравнение $\sin x=a$ плохо решаете... На график взгляните, сколько Вы корней потеряли!

Да нет, вроде нормально решал, что попадалось. И понимаю вроде, что там 2 точки будет. Но всё равно не понимаю откуда ответ такой.

[bot]

prowoke в сообщении #490532 писал(а):

AKM в сообщении #489939 писал(а):

Ой, да Вы, кажется, уравнение $\sin x=a$ плохо решаете...

Да нет, вроде нормально решал

Это Вы называете нормально?

Цитата:

$\sin x = - \frac{1}{\sqrt 2}$

$x = \arcsin (- \frac{1}{\sqrt 2} ) + 2 \pi n$

-- Сб окт 08, 2011 08:20:18 --

Вот возьмите $a\in [-1,1]$, проведите прямую $y=a$. Какие точки персечения с единичной окружностью получите? Как каждая из них с учётом периодичности запишется? Если постараться их можно записать одной формулой (в школьном учебнике это сделано), а можно и так оставить, особенно если это только промежуточный ответ.
А теперь возьмите $a=\pm\frac{1}{\sqrt2}$ и проведите две прямые, сколько точек пересечения с окружностью получится? Можно ли их одной формулой описать?

[prowoke]

Так это я всё понимаю, про переидичность и про то, что 4 точки будет. Я только, что открыл для себя, что число

$ 1/ \sqrt 2 = \sqrt 2 / 2$

Это почему? Я ничего не понимаю, с чего они равны? Считал на калькуляторе и случайно заметил это. Я видимо вообще ничего не понимаю в математике. Но почему они равны я не могу понять. Ведь если мы умножим обе части на 2, то они должны быть равны. Пробуем:

$ 2 / \sqrt 2 = \sqrt 2 $

Что это такое?

[Joker_vD]

И действительно, как у вас $2\cdot 1/\sqrt2= 2\sqrt2$? Научите меня так умножать.

[prowoke]

Joker_vD в сообщении #490915 писал(а):

И действительно, как у вас $2\cdot 1/\sqrt2= 2\sqrt2$? Научите меня так умножать.

Поправил, я слеш не поставил, но всё равно тоже самое, они не равны. В общем распутайте меня, пожалуйста.

[AKM]

prowoke в сообщении #490909 писал(а):

$ 1/ \sqrt 2 = \sqrt 2 / 2$
Это почему? Я ничего не понимаю, с чего они равны?

$$\frac{1}{\sqrt2} =\frac{1\cdot 7}{\sqrt2\cdot7} =\frac{1\cdot \pi}{\sqrt2\cdot\pi} =\frac{1\cdot 999}{\sqrt2\cdot999}=\frac{1\cdot 142857143}{\sqrt2\cdot 142857143} =\frac{1\cdot \sqrt2}{\sqrt2\cdot \sqrt2}=\ldots $$

У последней дроби упростите отдельно числитель и знаменатель, и да будет Вам маленькое открытие...

[prowoke]

Прикольно. Ну а почему тогда с двойкой такие проблемы, если мы левую и правую часть умножим на 2?

[Joker_vD]

Вы не поверите, но $2/\sqrt2 = \left(\sqrt2\right)^2/\sqrt2 = \sqrt2$. Господи, вас же заставляли пачками решать такие примеры в 7 или 8 классе.

[prowoke]

Видимо я так решал. Спасибо.