операторное исчисление для решения д.у.

[pti]

Прошу прощения за наверное довольно глупый вопрос, но я слышал что существует операторное исчисление позволяющее решать дифференциальные уравнения, можно ли с его помощью решать дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка, если да то можите пожалуйста дать ссылку на литературу. Можно ли к примеру с помощью этого метода исследовать на предмет существования решения и его нахождения подобные уравнения $\vec{a}=[ \operatorname{grad}(b),\vec{r}]$ где естественно $\vec{a}=\vec{a} (x_1,x_2,x_3)$, $b=b (x_1,x_2,x_3) $-неизвестная функция ?

[alcoholist]

Указанное уравнение равносильно уравнению

$$ \nabla b=g\cdot\vec r+\frac{[\vec a,\vec r]}{\vec r^2}, $$

где $g$ -- произвольная функция.

Так что Вам надо научится интегрировать уравнение $\nabla b=\vec{c}$. В односвязной области это легко:)

[pti]

Да все понятно. Кстати произвольная функция $g$ определяется если известно скалярное произведение $(\operatorname{grad}(b),\vec{r})=g$. Может кто знает как решить $[\nabla,\vec{a}]=\vec{b} $ относительно $\vec{a}$ ?

[alcoholist]

Вы написали какую-то ерунду... извините:((

Ураванение ${\rm rot} \vec{a}=\vec{b}$ решается просто -- посмотрите доказательство леммы Пуанкаре в учебнике А. Картана по дифференциальным формам

[bdfn]

тоже возник интерес к решению данного уравнения $\operatorname{rot}\vec{a}=\vec{b}$, в учебнике который вы упоминайте А Картан Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. По данному уравнению нашел только информацию на 230 стр идущей сразу после доказательства теоремы Пуанкаре, там показано что данное уравнение разрешимо при условии $ \operatorname{div}\vec{b}=0$ (оно было понятно и раньше). Если можно опишите примерный путь решения данного уравнения или отошлите к литературе желательно с сылкой на страницу.

[alcoholist]

Если перевести то, что написано в учебнике на язык векторных функций, то получится

$$ a(r)=\nabla f(r)+\int_0^1t[b(rt), r]\,{\rm d}t, $$

где $f$ -- произвольная функция.

Проверяйте прямым вычислением

[bdfn]

Можите пожалуйста привести номер страницы где встречается эта формула и еще простите за глупый вопрос не совсем понятно что имеется в виду под $t[b(rt), r]$ ?

[alcoholist]

Это формула 2.13.2

Как это, что понимается?
$t$ -- параметр, квадратные скобки -- векторное произведение, $rt$ -- вектор $r\in\mathbb{R}^3$, умноженный на число $t\in [0;1]$, $b(rt)$ -- вектор-функция $b:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$, аргументом которой является вектор $rt$

[bdfn]

Все ясно, спасибо за помощь.