"мышь" с прямым хвостом и Fp-свойство

[Jellyfish]

Добрый вечер! Помогите разобраться. Задача такова: обладает ли «мышь» Fp -свойством? "Мышь" выглядит в виде эллипса с перпендикулярным к нему отрезком. Заранее спасибо.

[Joker_vD]

Что такое "$F_p$-свойство"?

[Jellyfish]

Говорят, что множество топологического пространства обладает Fp-свойством (fixed point property), если любое непрерывное отображение в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку

[Null]

По-моему можно можно отобразить без неподвижных точек, надо просто центрально-симметрично отобразить эллипс, а хвост расположить вдоль эллипса не дотягивая его до точки пересечения отрезка с эллипсом.

[Someone]

Вообще-то, это по-русски называется "свойство неподвижной точки".

По правилам форума, Вы должны бы высказать собственные предложения по решению задачи.
Но я немного подскажу. Вложите Вашу мышь в квадрат или в произведение эллипса от мыши на отрезок (это произведение гомеоморфно кубу). И квадрат, и куб обладают свойством неподвижной точки. Мышь является ретрактом и квадрата, и куба.* Пользуясь этим, докажите ("от противного"), что "мышь" тоже обладает свойством неподвижной точки.

Null в сообщении #488790 писал(а):

По-моему можно можно отобразить без неподвижных точек, надо просто центрально-симметрично отобразить эллипс

При этом центр эллипса будет неподвижной точкой.

* Вместо этой фразы была написана ерунда. Я заменил её правильным утверждением. Someone.

[alcoholist]

Если образ отображения стягиваем, то неподвижная точк есть. Если нестягиваем, то ее может и не быть. Хвост тут вообще ни при чем:)

-- Вс окт 02, 2011 20:20:20 --

Someone в сообщении #488797 писал(а):

При этом центр эллипса будет неподвижной точкой.

центр эллипса не принадлежит ему:)) Эллипс -- это кривая

[Jellyfish]

Если квадрат и куб являются ретрактами эллипса и обладают Fp-свойством, то эллипс автоматически обладает Fp-свойством. Но как быть с "хвостом"?

[alcoholist]

Jellyfish в сообщении #488821 писал(а):

Но как быть с "хвостом"?

хвост гомотопически эквивалентен точке...


А Вы эллипсом считает область плоскости? В смысле -- не кривую, а круг?

-- Вс окт 02, 2011 20:45:24 --

если Ваша мышь -- это область плоскости, ограниченная эллипсом, к которой приделан хвост, то неподвижная точка существует, например по теореме Лефшеца о неподвижной точке

[Jellyfish]

если имеется ввиду только граница, то по аналогии с окружностью, неподвижной точки нет

[Someone]

Jellyfish в сообщении #488821 писал(а):

Если квадрат и куб являются ретрактами эллипса и обладают Fp-свойством, то эллипс автоматически обладает Fp-свойством. Но как быть с "хвостом"?

Виноват, я написал не то, что думал. Это, наоборот, "мышь" является ретрактом того и другого. Исправлю сейчас то сообщение, чтобы кто-нибудь не принял эту ерунду за правильное утверждение. Кстати, эллипс просто гомеоморфен квадрату, а куб ретрактом эллипса не может быть по той простой причине, что не может быть подпространством эллипса.

Попробуйте из этого обстоятельства вывести свойство неподвижной точки для "мыши". Это очень легко. Квадрат и куб обладают этим свойством по теореме Брауэра о неподвижной точке.

P.S. Откуда взялся этот термин - "Fp-свойство"? Сколько помню, это всегда называлось "свойством неподвижной точки".

alcoholist в сообщении #488801 писал(а):

центр эллипса не принадлежит ему:)) Эллипс -- это кривая

Э-э-э... Тогда задача очень странная. Поэтому будем считать, что это часть плоскости, ограниченная указанной кривой.

[Jellyfish]

Если эллипс гомеоморфен квадрату, то обладает Fp-свойством(нам так преподнесли название св-ва). Я не понимаю, что делать с хвостом. Как он влияет на задачу, есть аналоничная, где в "хвосте" петля как бы. Что это меняет...

[alcoholist]

Jellyfish в сообщении #488879 писал(а):

Если эллипс гомеоморфен квадрату, то обладает Fp-свойством

тут не в гомеоморфности дело, а в гомотопической эквивалентности

-- Вс окт 02, 2011 22:18:39 --

Jellyfish в сообщении #488879 писал(а):

Как он влияет на задачу, есть аналоничная, где в "хвосте" петля как бы. Что это меняет...

это разный гомотопический тип

[Jellyfish]

Спасибо, буду разбираться!