Z2 x Z3 = Z6

[spyphy]

Как доказать, что $Z_2 \times Z_3$ изоморфно $Z_6?
Точнее, есть ли способ кроме как строить таблицы и сравнивать по ним? (на самом деле это не так и просто, если не известно что куда переходит). Вообще пример классический, наверное где-нибудь да уже разбирался (можно ссылку).

[Joker_vD]

Конечно. Например, есть такая вещь, как китайская теорема об остатках.

[spyphy]

ага, слышал о такой. Вообще упражнение было для начинающих в теории групп. Поэтому думал, что можно решить менее абстрактными методами. А так получается просто по теореме и весь ответ.

[Someone]

Ну прямо укажите изоморфизм.

[spyphy]

Someone в сообщении #488340 писал(а):

Ну прямо укажите изоморфизм.

это я и хотел услышать. Ну почему я всё время забываю про это способ?...
так пойдет? $ \phi: Z_2 \times Z_3 \to Z_6, ~ \phi (a,b)=a+2b $

[Kallikanzarid]

Достаточно показать, что $0 \to \mathbb{Z}_3 \to \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_2 \to 0$ расщепляется (с какой угодно стороны). $f: \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_6$, определенный как $f(x) = 3x$, очевидно, дает такое расщепление, соответствующим изоморфизмом будет $\varphi: \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \to \mathbb{Z}_6$, определяемый формулой $\varphi(x, y) = 3x + y$. Аналогично можно получить изоморфизм, приведенный вами постом выше :)

[spyphy]

Kallikanzarid в сообщении #488465 писал(а):

Достаточно показать, что $0 \to \mathbb{Z}_3 \to \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_2 \to 0$ расщепляется (с какой угодно стороны).

хотя смысл интуитивно ясен, для меня это утверждение не вполне очевидно. Откуда взята эта терминология про "расщепления"?

[Joker_vD]

spyphy в сообщении #488491 писал(а):

Откуда взята эта терминология про "расщепления"?

Да из теориий категорий. Вы на Kallikanzarid особо не сердитесь, это его трепетная любовь

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #488511 писал(а):

Да из теориий категорий.

Из абстрактной алгебры, вообще-то ;) http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blur ... tinggp.pdf - очень полезная, ИМХО, вещь, когда группы под вопросом более сложные. Хотя обобщается с абелевых групп на любую абелеву категорию, да, но и для неабелевых групп штука полезная :)

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #488573 писал(а):

Из абстрактной алгебры, вообще-то ;)

Готов поспорить на что угодно, что точные последовательности впервые появились там же, где и теория категорий — в алгебраической топологии.

[spyphy]

А можно этими же ращеплениями решить вопрос, что $Z_2 \times Z_2$ изоморфно $D_4? Или каким другим способом? Что-то у меня так прямо изоморфизм не хочет строится. Я рассматриваю группу диэдра по определению как в задачнике Белоногова $D_{2n}=D(Z_n)=[(a,\epsilon), a \in Z_n, \epsilon = +-1] с операцией (a_1, \epsilon_1) \times (a_2, \epsilon_2) = (a_1+ \epsilon_1 a_2, \epsilon_1 \epsilon_2) (в аддитивной записи).

[Kallikanzarid]

spyphy
Если заранее не известно, что $D_4$ абелева, то нужно доказывать расщепляемость слева.
Схема такая:
1) Построим вложение $i: \mathbb{Z}_2 \to D_4$, $i(\pm 1) = (0, \pm 1)$.
2) Убедимся, что $\operatorname{im} i \triangleleft D_4$ и $D_4 / \operatorname{im} i \cong \mathbb{Z}_2$. Таким образом построили короткую точную последовательность

$$1 \to \mathbb{Z}_2 \stackrel{i}{\to} D_4 \to \mathbb{Z}_2 \to 1.$$

3) Построим левообратное к $i$: такой гомоморфизм $r: D_4 \to \mathbb{Z}_2$, что $r \circ i = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}_2}$.

[spyphy]

а можно ли формулой записать этот изомофризм?
я хотел сделать так $ \phi: Z_2 \times Z_2 \to D_4, ~ \phi (a,b)=(a,(-1)^b) $
(предполагается, что $ Z_2=\{0,1\} $), но немного не сошлось:
$ \phi [(a_1,b_1) + (a_2,b_2)] =(a_1+a_2,(-1)^{b_1+b_2}) $
$ \phi(a_1,b_1) \times \phi(a_2,b_2) = (a_1+(-1)^{b_1} a_2,(-1)^{b_1+b_2}) $

[Kallikanzarid]

У нас есть морфизмы $\mathbb{Z}_2 \stackrel{r}{\leftarrow} D_4 \stackrel{\pi}{\to} \mathbb{Z}_2$, понятно, что эта пара морфизмов факторизуется через произведение $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Я всегда думал, что это и будет исходный изоморфизм, но никогда не проверял

[Joker_vD]

Лично мне было бы гораздо ближе поискать подгруппы $H$ и $K$, чтобы $H\cong K \cong \mathbb Z_2$, $HK=D_4$, $H\cap K = \{e\}$. Ну да ладно, некоторым больше нравится стрелочки на лучинки колоть

P.S. spyphy, советую использовать "\mathbb" для символов натуральных/целых/рациональных и т.д. чисел. Видите ли, например, в теории колец $R$ является довольно стандартным обозначением любого кольца.