Интегральное уравнение

[Nimza]

Вот такое уравнение

$$a(x)\cdot f(x) + [b*f](x) = 0 \;\;\; \left( a,b : \mathbb{R}^d \to \mathbb{C} \right)$$

Не имею опыта решения интегральных уравнений в общем случае, поэтому не знаю что нужно делать здесь. Звёздочка означает свёртку. Интересно мне это уравнение тем, что оно практически инвариантно относительно преобразования Фурье.

[Vince Diesel]

Произвольно выписанное уравнение не обязано хорошо решаться. Или это из какой-то задачи?

[Nimza]

Да, из задачи. Но там оно в немного другой форме (и для такого случая я решение знаю):

$$ \langle \theta, x \rangle f(x) + [b*f](x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} $$

Просто интересно, может быть и для более общего случая (пусть сперва даже однородного) имеются какие-то способы решения.

[Полосин]

"Хорошо" решается только в очень узком классе коэффициентов $a(x)$. Приближенно можно решить, заменив $a(x)$, например, на дробно-рациональную функцию (при соответствующем поведении коэффициента на бесконечности) и перейдя к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами.