Помогите с решением дифференциального уравнения

[ewert]

У Вас там сбой на единичку с показателем в правой части. А левую -- лучше вообще не трогайте, от греха подальше.

[alcoholist]

Smart в сообщении #488776 писал(а):

Дальше что делать? Пытался решить $\frac {xdt}{dx}+t=0$ (т.к. оно однородное), но ничего хорошего не получил.

а Вы все-таки дорешайте... запишите его в виде $Pdx+Qdt=0$

[Smart]

ewert в сообщении #488815 писал(а):

У Вас там сбой на единичку с показателем в правой части. А левую -- лучше вообще не трогайте, от греха подальше.

Я там немножко замену неправильно записал, но результат получил правильный.


$\frac {xdt}{dx}+t=0$

$\frac {xdt}{dx}=-t$

$\frac {dt}{t}=-\frac {dx}{x}$

$\int\frac {dt}{t}=-\int\frac {dx}{x}$

$\ln\left| t \right|=-\ln\left| x \right|$

$t=\frac {1}{x}$

Подставляем в уравнение $x=\frac {1}{t}$. Получаем:

$x=\frac {\frac {dt}{dx}}{1+x^2t^2}$

$\frac {1}{t}=\frac {\frac {dt}{dx}}{1+\frac {1}{t^2}t^2}$

$\frac {1}{t}=\frac {dt}{dx}$

$tdt=dx$

$\int tdt=\int dx + C$

$\frac {t^2}{2}=x + C$

$t=\sqrt {2x + 2C}$

$y=xt=x\sqrt {2x + 2C}$ - общий интеграл. Я правильно нашел его?

[alcoholist]

страшно смотреть на Ваши мучения... сделайте замену

$$ x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi $$

[Smart]

Мне не нужно решение в полярных!

[alcoholist]

Вы же потом можете обратно в декартовы перейти:)

-- Пн окт 03, 2011 16:34:39 --

к тому же, легко проверить является ли данная функция $I(x,y)$ интегралом уравнения $P\,{\rm d}x+Q\,{\rm d}y=0$. Это всего лишь условие параллельности

$$ P\frac{\partial I}{\partial y}=Q\frac{\partial I}{\partial x} $$