Ортогональность многочленов Лежандра

[StudentKB]

Добрый вечер всем!
Нужно доказать , что многочлены Лежандра образуют ортогональный базис в евклидовом пространстве. Доказываю, что скалярное произведение многочленов не равных степеней равняется нулю. Проблема в следующем: получается интеграл от произведения производных, как с ним быть( как же от них избавится и прийти к "классическому" интегралу)? Читал в интернете множество доказательств, но нигде подробно этот момент не описывается.

P.S. Прошу прощения ,если что-то нарушил, впервые тут и уж очень нужна помощь

[ИСН]

Брать многократно по частям, одну вытаскивая наверх, а другую загоняя всё глубже, пока она там не - - -

[StudentKB]

Можно ли поподробней про вытаскивание наверх? Просто никак не могу сообразить как же это происходит

[ИСН]

ну как интегралы по частям берут, ну? знаете?

[StudentKB]

Кажется понял, то есть когда мы загоняем производную под дифференциал (степени m например), то ее степень увеличивается на 1. Применяем многократно интегрирование по частям. И получается что в итоге имеем одну производную степени m+n другую 0. Я правильно рассуждаю?)

[ИСН]

Да. Иногда конец может наступить раньше.

-- Чт, 2011-09-29, 20:22 --

Только у той, которую мы загоняем под дифференциал, степень как раз уменьшается. Увеличивается у другой.

[nnosipov]

StudentKB в сообщении #487742 писал(а):

Нужно доказать , что многочлены Лежандра образуют ортогональный базис в евклидовом пространстве.

Обычно многочлены Лежандра вводятся как результат процесса ортогонализации, и тогда они ортогональны по определению. Здесь, видимо, имеется в виду задание этих многочленов формулой Родрига.

[ewert]

StudentKB в сообщении #487742 писал(а):

Нужно доказать , что многочлены Лежандра образуют ортогональный базис в евклидовом пространстве.

Это -- факт в определённом смысле нетривиальный.

Тривиальным можно считать их ортогональность: или по определению, как результат процесса ортогонализации (как все порядочные люди к этим многочленам и подходят), и тогда это тривиально в буквальном смысле -- или через формулу Родрига; тогда придётся, да, маленько поковыряться с интегрированиями по частям, но это не вполне спортивно: ведь и сама формула Родрига берётся-то не с потолка, а увязана именно с ортогональностью.

Только вот ортогональность этих многочленов сама по себе ещё ни в коей мере не означает их базисность. Если первое -- штука сугубо формальная, то вторая -- уже по существу (опирается в конечном счёте на теорему Вейерштрасса).

----------------------------------------
Да, не обратил сразу внимания. В каком это таком "евклидовом"-то?! Нету там никакого евклидового, при любой разумной интерпретации.

[StudentKB]

ИСН в сообщении #487758 писал(а):

Да. Иногда конец может наступить раньше.

-- Чт, 2011-09-29, 20:22 --

Только у той, которую мы загоняем под дифференциал, степень как раз уменьшается. Увеличивается у другой.

Доказательство на самом деле элементарное, пошел изначально не тем путем. Спасибо большое за помощь, разобрался.

[sergei1961]

Понятное доказательство есть в книге:
Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. С. 107-108.
Проще и понятнее не найдёте.

[Barguzino]

sergei1961 в сообщении #487941 писал(а):

Понятное доказательство есть в книге:
Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. С. 107-108.
Проще и понятнее не найдёте.

я что-то не увидел на этих страницах доказательства..

StudentKB, можете рассказать по какому вы пути пошли,пожалуйста

[profrotter]

Есть ещё один путь: для многочленов Лежандра есть рекуррентное соотношение. Можно по индукции доказать, что многочлены, ему удовлетворяющие, являются ортогональными.

[sergei1961]

У меня стр. 107 начинается со слов: "Докажем ортогональность многочленов Лежандра..."
Не знаю как у Вас. Издание Наука, М., 1976. Может издания разные.

[Barguzino]

ага. там 116 страница, отдельная тема Многочлены Лежандра, 79 года,
спасибо,будем смотреть