Посчитать интеграл-преобразование Фурье

[Nimza]

Вот такой вот интеграл-преобразование Фурье

$$f(x,\theta) = \int\limits_{\mathbb{R}^2} \frac{e^{i \langle \xi, x \rangle} d\xi}{ \langle\xi,\theta\rangle}, \;\;\; \theta \in \mathbb{C}^2 \setminus ( \mathbb{S}^1 \cup \left\{ 0 \right\} ), \;\;\; \theta_1^2 + \theta_2^2 = 1,\;\;\; x\in \mathbb{R}^2%$$

Жестокое условие после скобок тут для того, чтобы интеграл сходился. Я пытался решить, делая замену $y_{1} = \langle\xi,\operatorname{Re} \theta\rangle, \;\; y_2 = \langle \xi, \operatorname{Im} \theta \rangle$. Ничего хорошего не вышло.

P.S. Ответ, вообще говоря, известен,

$$ f(x,\theta) = 2\pi \frac{ \mathop{sgn}({1 - |\theta_1 + i\theta_2|)} }{\theta_1 x_2 - \theta_2 x_1} $$

[Хорхе]

У меня почему-то не сходится. Заменим $\langle \xi,x\rangle$ на новую переменную. Тогда если мы интегрируем по второй переменной, у нас получается что-то, ведущее себя на бесконечности как минус первая степень и потому не интегрируемое.

[Nimza]

Если рассматривать $f(x,\theta)$ как обобщённую функцию, то с вычислениями всё становится ещё хуже.

[Nimza]

Можно показать, что $f(x,\theta)$ это ограниченная на бесконечности функция Грина (с точностью до мультипликативной константы) для дифференциального оператора

$$\langle \theta, \nabla \rangle = \theta_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \theta_2 \frac{\partial}{\partial x_2}$$

Может так проще найти $f(x,\theta)$?

Ещё одна моя попытка подсчёта: регуляризация интеграла.

$$f_\varepsilon (x,\theta) = \int\limits_{\mathbb{R}^2} \frac{e^{i\langle \xi, x \rangle - \varepsilon |\xi|} d\xi}{\langle \theta, \xi \rangle } = \{\text{считаем}\} = \int\limits_{\mathbb{S}^1} \frac{d\vartheta}{\langle \theta, (\vartheta \otimes \vartheta) x \rangle - \varepsilon \langle \theta, \vartheta \rangle }$$

Дальше опят ступор. Вроде бы и к пределу можно перейти, но тогда получается, что функция $f$ симметрична, чего быть не может по известному ответу...