Функциональные ряды

[nastya2011]

Здравствуйте!) мне вот вот сдавать зачет, а я так и не разобралась(( помогите, пожалуйста, очень нужно. Не получается несколько задачек:
1) Исследовать на равномерную сходимость ряд $\sum_{n \in \mathbb{N}}\frac {x^n \ln^p{n}}{(1+x^n)^n}$ при $x \in [0,1]$
2) Доказать что $\forall x \in \mathbb{R}$ если $f(x)=\sum_{n \in \mathbb{N}} a^n \cos{b^n x}$ и $f \in C(\mathbb{R})$ то $f \not \in D(\mathbb{R})$ при $a\in (0,1)$ и $ab\geqslant1$.
3) Доказать что если $f \in C(\mathbb{R})$ и $f(x)=\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac {\psi(2^{k!} x)}{10^k}$ то $f \not \in \mathop{\mathrm{Lip}} \alpha$ при $\alpha>0$

[alisa-lebovski]

1) Оценить члены ряда сверху на отрезке $[0,1]$. Показать, что функция возрастающая, поэтому оцениваются значениями в 1.
2) Построить ряд для вычисления производной и показать, что он расходится.
3) Непонятно, что такое $\psi$.

[Null]

alisa-lebovski в сообщении #486945 писал(а):

1) Оценить члены ряда сверху на отрезке $[0,1]$. Показать, что функция возрастающая, поэтому оцениваются значениями в 1.
2) Построить ряд для вычисления производной и показать, что он расходится.
3) Непонятно, что такое $\psi$.

1) Максимум не в точке 1.
2) Из расходимости $\sum f'_i$ не следут не дифференциируемость $\sum f_i$

[nnosipov]

Пример 2) принадлежит Вейерштрассу и представляет довольное тонкое утверждение (доказывается, что при условии $ab \geqslant 1$ функция $f(x)$ не имеет производной ни в какой точке). Лучше об этом прочитать в какой-нибудь книжке.