Задача на доказательство. Непонятно что можно.

[GrishinUS]

Здравствуйте!

Задача:
Доказать что если $\left|x-y\right|<\varepsilon$ для всех $\varepsilon>0$, тогда $x=y$.

Определяю два предиката $p: \left|x-y\right|<\varepsilon \text{, } \forall \varepsilon>0$ и $q: x=y$. Хочу доказать при помощи тавтологии $p\Rightarrow q \Leftrightarrow (p \land \sim q \Rightarrow c)$ положив $\varepsilon=\left|x-y\right|$ (т.к. $x\neq y$, а значит $\varepsilon >0$) и получить противоречие $\left|x-y\right|<\left|x-y\right|$. Могу ли я положить $\varepsilon=\left|x-y\right|$? Смущает то, что $p$ утверждает $\left|x-y\right|<\varepsilon$, т.е. положив $\varepsilon=\left|x-y\right|$ я нарушаю условие $p$. Не уверен в этом.

Спасибо.

[JMH]

Так не пойдёт, нельзя полагать $\varepsilon=\left|x-y\right|$ т.к. по условию он всегда меньше. Положите $x\neq y$, вычислите $\left|x-y\right|$ и сравните с $\varepsilon$.

[GrishinUS]

Хорошо,
если $x\neq y$ тогда $\left|x-y\right|>0$. При этом $\varepsilon>\left|x-y\right|$. Получается что $\varepsilon>\left|x-y\right|>0$, все хорошо и никакого противоречия нет!

[epros]

GrishinUS в сообщении #486741 писал(а):

Хорошо,
если $x\neq y$ тогда $\left|x-y\right|>0$.

Обозначим $|x-y|=\delta$. Поскольку $\varepsilon$ может быть любым большим нуля, то выберем его равным ... чему?

[GrishinUS]

$\delta$ и получим противоречие.
Спасибо!