Теорема Лузина

[ellipse]

Теорема Лузина:
$f$ измерима на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon>0 \ \exists f_{\varepsilon }\in C[a,b] \ \mu(\{x\in [a,b]\ : \ f_{\varepsilon}(x) \neq f(x)\})< \varepsilon$

В одну сторону вроде доказал:

Пусть $\varepsilon_n \rightarrow 0$.
Построим последовательность $f_n\in C[a,b]$ таких, что $\mu(\{x\in [a,b]\ : \ f_n(x) \neq f(x)\})< \varepsilon_n$.

Поскольку $\forall \sigma>0$ $\{x\in [a,b]\ : \ |f_n(x)-f(x)|\geq \sigma\} \subset \{x\in [a,b]\ : \ f_n(x) \neq f(x)\}$, имеем $\mu(\{x\in [a,b]\ : \ |f_n(x)-f(x)|\geq \sigma\})<\varepsilon_n$.
Таким образом, $f_n$ сходится к $f$ по мере. Значит можно выбрать подпоследовательность $f_{n_k}$, сходящуюся к $f$ почти всюду.

Дальше хочется сказать, что непрерывные функции $f_{n_k}$ измеримы, поэтому $f$ измерима, как предел измеримых функций. Верно ли то, что непрерывная функция измерима?

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Верно ли то, что непрерывная функция измерима ?

Да. Любая непрерывная функция является измеримой.

[JMH]

Но последовательность непрерывных функций может сходиться к функции, которая уже не будет непрерывной, что тогда?

[ellipse]

Dan B-Yallay в сообщении #486718 писал(а):

Цитата:

Верно ли то, что непрерывная функция измерима ?

Да. Любая непрерывная функция является измеримой.

Как это доказать? Я могу доказать лишь то, что непрерывная функция является $(B, B)$ - измеримой. Как показать, что множество измеримых множества на отрезке содержится в $B$ - алгебре?

JMH в сообщении #486726 писал(а):

Но последовательность непрерывных функций может сходиться к функции, которая уже не будет непрерывной, что тогда?

Не нужно доказывать непрерывность $f$. Я сначала тоже хотел применить теорему Егорова и доказать непрерывность $f$ везде, кроме кроме множества сколь угодно малой меры. Но нам этого не надо, иначе мы докажем то, из чего исходили

[Nimza]

Прообраз открытого множества открыт при непрерывном отображении. А открытые множества измеримы (и по Борелю, и по Лебегу).

[ellipse]

Nimza в сообщении #486833 писал(а):

Прообраз открытого множества открыт при непрерывном отображении. А открытые множества измеримы (и по Борелю, и по Лебегу).

По Лебегу это как? Когда мера задается на полукольце отрезков (прямоугольников), затем продолжается на все пространство? Как я понимаю, в этом случае измеримость открытого множества следует из того, что любое открытое множество есть счетное объединение отрезков(прямоугольников)?
Как быть в случае произвольной меры?

[ellipse]

Как доказывать обратное утверждение? Если $f$ измерима на $[a,b]$, тогда $\forall \varepsilon>0 \ \exists f_{\varepsilon }\in C[a,b] \ \mu(\{x\in [a,b]\ : \ f_{\varepsilon}(x) \neq f(x)\})< \varepsilon$.

$f$ измерима, поэтому может быть представлена как равномерный предел последовательности простых измеримых функций. Но они же не являются непрерывными, вообще говоря. Больше ничего в голову не приходит.

[AD]

ellipse в сообщении #486874 писал(а):

Как быть в случае произвольной меры?

Ну извините, эта теорема не переносится на произвольные меры, как и само понятие "непрерывная функция". При желани можно обобщить на вполне регулярные топологические пространства с радоновскими мерами (Богачёв, "Основы теории меры", т.2, теорема 7.1.13)

-- Ср сен 28, 2011 11:03:06 --

ellipse в сообщении #487032 писал(а):

Но они же не являются непрерывными, вообще говоря

Приближайте дальше, пока не станут непрерывными

[ellipse]

AD в сообщении #487111 писал(а):

ellipse в сообщении #487032 писал(а):

Но они же не являются непрерывными, вообще говоря

Приближайте дальше, пока не станут непрерывными

Как приближать? Намек не понял

[AD]

Приближайте любые функции - простыми, простые - очень простыми, очень простые - непрерывными.

[ellipse]

Очень простые это как?

[AD]

Ну, например, характеристические функции открытых множеств и их конечные линейные комбинации.

[rauan]

Dan B-Yallay в сообщении #486718 писал(а):

Цитата:

Верно ли то, что непрерывная функция измерима ?

Да. Любая непрерывная функция является измеримой.

Не всегда. Тут нужно уточнить. Любая непрерывная функция измерима по Борелю, но существуют непрерывные функции неизмеримые по Лебегу!!!

[AD]

Цитата:

Любая непрерывная функция измерима по Борелю, но существуют непрерывные функции неизмеримые по Лебегу!!!

Вас кто-то жестоко обманул.

[Asker Tasker]

"Если функция непрерывна на измеримом множестве Е, то эта функция измерима по Лебегу на Е".