вложение пространств Lp

[aeterna]

Нужно доказать такую штуку:
$\mu(\Omega) < \infty$ (мера всего пространства конечна)
$p_1 < p_2$, то
$L_{p_2}(\Omega) \subset L_{p_1}(\Omega)$

И еще ищу хорошую книжку про интеграл Лебега и $L_p$

[ewert]

aeterna в сообщении #486292 писал(а):

Нужно доказать такую штуку:
$\mu(\Omega) < \infty$ (мера всего пространства конечна)
$p_1 < p_2$, то
$L_{p_2}(\Omega) \subset L_{p_1}(\Omega)$

Разбейте функцию на два слагаемых, у одного из которых все значения по модулю меньше единицы, а у другого -- либо равны нулю, либо по модулю больше единицы. Первое принадлежит вообще любому $L_p$ (в силу конечности всей меры, и это обстоятельство существенно). А для второго слагаемого одна из степеней очевидным образом оценивается сверху через другую -- вот как раз в ту, чтобы обеспечить это вложение.