Сходимость неопредлённого интеграла с параметром (дем. 3743)

[ean]

Нужно определить область сходимости интеграла.
$\int \limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin {x^q}}{x^p}\, dx$
Замена $x=t^{\frac{1}{q}}$, тогда $dx = \frac{1}{q} t^{\frac{1-q}{q}}dt$
$\frac{1}{q}\int \limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin {t}}{t^{\frac{p+q-1}{q}}}\, dt = \frac{1}{q}\int \limits_{0}^{1} \frac{\sin {t}}{t^{\frac{p+q-1}{q}}}\, dt + \frac{1}{q}\int \limits_{1}^{+\infty} \frac{\sin {t}}{t^{\frac{p+q-1}{q}}}\, dt$.
Для первого интеграла $\sin t \xrightarrow{t \rightarrow 0} t$, тогда он сходится при $\frac{p+q-1}{q}-1<1$, т.е. $\frac{p-1}{q}<1$.
Для второго интеграла по признаку Дирихле $\sin t$ непрерывна и ограничена, а $\int \limits_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{\frac{p+q-1}{q}}}\, dt$ сходится при $\frac{p+q-1}{q}>1$, т.е. $\frac{p-1}{q}>0$.
В конечном итоге получается $0 < \frac{p-1}{q} < 1$, но в ответе $\left |\frac{p-1}{q} \right | < 1$.
Подскажите пожалуйста, где я неправ?

[ewert]

ean в сообщении #486233 писал(а):

Подскажите пожалуйста, где я неправ?

В неправильном понимании признака Дирихле:

ean в сообщении #486233 писал(а):

Для второго интеграла по признаку Дирихле $\sin t$ непрерывна и ограничена, а $\int \limits_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{\frac{p+q-1}{q}}}\, dt$ сходится при $\frac{p+q-1}{q}>1$,

Не об этом нам говорит тов. Дирихле, ох, не об этом!

[ean]

ewert в сообщении #486235 писал(а):

В неправильном понимании признака Дирихле

Да, я здесь я неправ .
$\frac{\sin t}{t^a}$, пусть здесь $f(t) = \sin t$, а $g(t) = \frac{\sin t}{t^a}$.
Тогда $\int \limits_{1}^{b} f(t) \, dt = \cos 1 - \cos b$ ограничена на $[1;+\infty)$.
А $g(t)$ монотонна и стремится к нули при $t \rightarrow +\infty$, если $a>0$, то есть получаем $\frac{p+q-1}{q} > 0$, откуда $\frac{p-1}{q}>-1$, что и должно было получиться.