порядок элементов в группе чётного пордяка

[ean]

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю.
Задача такая: $|G| = 2 \cdot n$, показать, что $\exists a \in G: ord(a)=2$
Попробуем построить группу чётного порядка без элементов порядка 2. В группе содержится единица. Для любого элемента $x \in G$ существует $x^{-1} \in G$, что $x\cdot x^{-1}=e$. Порядок $x$ не равен 2, то есть сам себе он не может быть обратным элементом, следовательно для каждого элемента помимо единицы в группе содержится его обратный, отличный от него. Тогда, порядок группы всегда $2 \cdot n + 1$, то есть нечётный.

[Sonic86]

Чего-то я не понял последний вывод :

ean в сообщении #486093 писал(а):

Порядок $x$ не равен 2, то есть сам себе он не может быть обратным элементом, следовательно для каждого элемента помимо единицы в группе содержится его обратный, отличный от него. Тогда, порядок группы всегда $2 \cdot n + 1$, то есть нечётный.

(другой способ)

рассмотреть подгруппу степеней $\{ x^n, x \in G\}$, где $n$ - НОК всех порядков элементов $G$

[bnovikov]

ean в сообщении #486093 писал(а):

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю.

Правильно.