функциональное уравнение с параметрами

[burduk]

Итак, есть функциональное уравнение

$$f(x) = pf(ux) + (1 - p)f\left( {\frac{x}{u}} \right)$$

где u и p- параметры такие, что $\[0 < p < \frac{1}{2}\]$, $1 < u < \sqrt {\frac{{1 - p}}{p}} $.
Вопрос: при каких значениях параметров (дополнительных ограничениях на параметры) есть (нетривиальная) характеристическая функция, являющаяся решением данного уравнения?
Как вообще (идейно) подойти к решению данной задачи?

(Оффтоп)

У меня как-то всё-время не очень складывалось с функциональными уравнениями, поэтому просьба сильно не пинать

PAV:

Звездочка в качестве знака умножения удалена

[Portnov]

Что за звёздочка? Свёртка?

[burduk]

нет, просто умножить
(и зачем я её писал- теперь сам не пойму )

[AKM]

burduk в сообщении #486030 писал(а):

и зачем я её писал- теперь сам не пойму

Вот-вот, а ведь писалка формул Вас предупреждала!

[Mikhail Sokolov]

Характеристическая функция случайной величины? Мне кажется, нужно смотреть в сторону Choquet-Deny Type Functional Equations.

[burduk]

где б её ещё и скачать можно было.... а то в гугле всё buy да buy

[alisa-lebovski]

Если речь идет о характеристической функции случайной величины, то с вероятностной точки зрения это значит найти распределение случайной величины $X$, которая распределена так же, как $u^KX$, где $K$ принимает значение 1 с вероятностью $p$ и -1 с вероятностью $1-p$. Если перейти к $Y=\ln X$, то оно распределено как $Y+K\ln u$. Это дает случайное блуждание, которое уходит в бесконечность. Так что никакого решения, кроме $X=0$, тут нет.