доказать иррациональность

[sveta007]

Доказать,что дробь $\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt2}$ является иррациональным числом.

Надо доказывать от противного.Я в начале избавлялась от иррациональности в знаменателе,а дальше у меня не получаеться.

[Someone]

sveta007 в сообщении #485894 писал(а):

Я в начале избавлялась от иррациональности в знаменателе

А не надо от неё избавляться. Если эта дробь рациональна, то существуют такие целые числа $m$ и $n$, что $\frac{\sqrt 3-\sqrt 2}{\sqrt 5-\sqrt 2}=\frac mn$. Отсюда следует, что $m(\sqrt 5-\sqrt 2)=n(\sqrt 3-\sqrt 2)$. Члены с $\sqrt 2$ соберите в правой части, остальные - в левой, и возведите в квадрат. Ну и так далее.

[sveta007]

Спасибо огромное.А когда мы получили уравнение $7m^2+nm(\sqrt{60}-4)-n^2=0$ ,то что дальше делать?

[Joker_vD]

Делите все на $mn$. И унесите вы это $\sqrt{60}-4$ в правую часть.

[Dialectic]

sveta007 в сообщении #486074 писал(а):

Спасибо огромное.А когда мы получили уравнение $7m^2+nm(\sqrt{60}-4)-n^2=0$ ,то что дальше делать?

А дальше и делать та нечего. Выражение слева не при каких целых $m,n$ не равных одновременно нулю - не является целым числом, поскольку слагаемое $mn(\sqrt{60}-4)$ в этом случае очевидно иррационально , в то время как слагаемое $7m^2-n^2$ - рационально. Поэтому не при каких целых не равных одновременно нулю, уравнение $7m^2+nm(\sqrt{60}-4)-n^2=0$ - не имеет решений. А потому, и не существует такой дроби $m/n$
,что $\frac{\sqrt 3-\sqrt 2}{\sqrt 5-\sqrt 2}=\frac mn$.
Пологаю так...

-- Сб сен 24, 2011 21:37:28 --

Joker_vD в сообщении #486083 писал(а):

Делите все на $mn$. И унесите вы это $\sqrt{60}-4$ в правую часть.

А потом опять решать уравнение? Не муторно ли?

[Joker_vD]

Dialectic в сообщении #486084 писал(а):

А потом опять решать уравнение? Не муторно ли?

Почему? Слева три рациональных числа, а справа одно очевидно иррациональное: $\frac nm + 3\frac mn + 4 = \sqrt{60}$. У вас гораздо муторнее.

[sveta007]

Спасибо огромное за помощь!