А зачем нам
![$\sqrt{2\pi}$ $\sqrt{2\pi}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/0/8804291691a554ca5c2ebeaa2388a0b582.png)
?
Если асимптотику с точностью до константы считать, то коэффициент будет выражаться через
![$\sqrt{2\pi}$ $\sqrt{2\pi}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/0/8804291691a554ca5c2ebeaa2388a0b582.png)
- его обычно найти не очень просто.
А это я не представляю, как доказать... Отношение по Стирлингу расписать? Наверное, еще хуже...
Сейчас попробую просто просто расписать, посокращать... Ведь просто при
![$a < b<\frac{n}{2}$ $a < b<\frac{n}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/3/3334969934e3f349923b6c511604f32482.png)
очевидно, что
![$\binom{n}{a}<\binom{n}{b}$ $\binom{n}{a}<\binom{n}{b}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/1/011ff27470403c2e64d006bc3594481082.png)
. Значит и тут не сложно должно быть.
...
Только надо доказывать, что если
![$a(n) \prec b(n) \prec n$ $a(n) \prec b(n) \prec n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/1/26196ad91b5b1e1033d6406d118517b782.png)
, то
![$\ln \binom{n}{a(n)} \prec \ln \binom{n}{b(n)}$ $\ln \binom{n}{a(n)} \prec \ln \binom{n}{b(n)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/b/1bb0ac9b2ca11926b739fe0fad0b8d0282.png)
.
...
Хе-хе, матан рулит:
![$\ln x! = x \ln x - x + O(\ln x)$ $\ln x! = x \ln x - x + O(\ln x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/a/9ca382cbb1e2cc2ea4b4a6df6bd9442182.png)
![$\ln \binom{n}{x} = n \ln n - (n-x_n) \ln (n-x_n) -x_n \ln x_n + O(\ln x)$ $\ln \binom{n}{x} = n \ln n - (n-x_n) \ln (n-x_n) -x_n \ln x_n + O(\ln x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/9/759cd157cfdece015dcf794fceac088382.png)
![$\ln \binom{n}{a_n} \prec \ln \binom{n}{b_n} \Leftrightarrow $ $\ln \binom{n}{a_n} \prec \ln \binom{n}{b_n} \Leftrightarrow $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/9/8799020553ae35bc37af2f96fc7d22a282.png)
![$ (n-a_n) \ln (n-a_n) -a_n \ln a_n +O(\ln n) \Leftrightarrow$ $ (n-a_n) \ln (n-a_n) -a_n \ln a_n +O(\ln n) \Leftrightarrow$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/c/6bc410e64dac0b343e886c12ba54da2982.png)
![$f(b_n)-f(a_n) \prec O(\ln n)$ $f(b_n)-f(a_n) \prec O(\ln n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/9/3693fe57779c53804f41202b24427f1d82.png)
, где
![$f(t)=(n-t) \ln (n-t) + t \ln t$ $f(t)=(n-t) \ln (n-t) + t \ln t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/f/69f6a2fd8c7607282b4850258c465b0482.png)
.
По теореме Лагранжа
![$f(b_n)-f(a_n) = f'(\xi _n)(b_n-a_n)$ $f(b_n)-f(a_n) = f'(\xi _n)(b_n-a_n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/6/9963a388fb7496d2b54a8a62f601ce6882.png)
, где
![$f'(t)=2 - \ln (n-t)+ \ln t = - O(\ln n)$ $f'(t)=2 - \ln (n-t)+ \ln t = - O(\ln n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/a/a4a17029db6ef22a5002c1e6f0d7061d82.png)
,
![$\xi _n \in [a_n; b_n]$ $\xi _n \in [a_n; b_n]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/d/17db3f9fb03a5c1f003deb1bd4c4980f82.png)
. И значит
![$f'(\xi _n)(b_n-a_n) \prec O(\ln n) \Leftrightarrow (b_n-a_n) \succ O(1)$ $f'(\xi _n)(b_n-a_n) \prec O(\ln n) \Leftrightarrow (b_n-a_n) \succ O(1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/6/f46a7306517f482c04d8fa9d8254135482.png)
.
-- Сб сен 24, 2011 10:30:36 --для
![$x_n \prec n$ $x_n \prec n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/2/2d2dc671da196fc09184137204244e2f82.png)
асимптотику
![$\ln \binom{n}{x_n}$ $\ln \binom{n}{x_n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/7/35700436ec158ef8132f75452d5f4bd182.png)
красивую найти не удалось - какая-то она кривая получается.
![Sad :-(](./images/smilies/icon_sad.gif)
Т.е. там, например, при
![$\alpha (n) = \frac{n}{\ln n}$ $\alpha (n) = \frac{n}{\ln n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/f/92f6d71295eeb074708c77d81671b7eb82.png)
как раз получается, что в разности
![$\ln \binom{n}{b_n} - \ln \binom{n}{a_n}$ $\ln \binom{n}{b_n} - \ln \binom{n}{a_n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/9/3994487197b3813d1718b75e9d2582db82.png)
старшие члены сокращаются и поэтому надо брать несколько членов, получается что-то вроде кусочной функции.