Формулы для Гамма-функций

[nikov]

Получил такие результаты:

$\frac{\Gamma \left(\frac{1}{30}\right) \Gamma \left(\frac{7}{30}\right) \Gamma \left(\frac{13}{30}\right) \Gamma \left(\frac{19}{30}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{6}\right) \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)}=12 \sqrt[3]{5} \pi$

$\frac{\Gamma \left(\frac{3}{40}\right) \Gamma \left(\frac{11}{40}\right) \Gamma \left(\frac{19}{40}\right) \Gamma \left(\frac{27}{40}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{8}\right) \Gamma \left(\frac{11}{8}\right)}= \frac{16}{3} \sqrt[8]{5} \sqrt{2-\sqrt{2}}$ \pi

$\frac{\Gamma \left(\frac{17}{80}\right) \Gamma \left(\frac{33}{80}\right) \Gamma \left(\frac{49}{80}\right) \Gamma \left(\frac{81}{80}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{16}\right) \Gamma \left(\frac{3}{16}\right)}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}}{8\sqrt[16]{1953125}}\pi$

$\Gamma \left(\frac{7}{20}\right) \Gamma \left(\frac{11}{20}\right) \Gamma \left(\frac{19}{20}\right) \Gamma \left(\frac{23}{20}\right)=\frac{3 \pi ^2}{5 \sqrt[4]{5}}$

Это что-то новое или уже известное? Представляет ли интерес?

[nikov]

А, вот и общая формула получилась:

$\frac{\Gamma \left(-x-\frac{3}{10}\right) \Gamma \left(-x-\frac{1}{10}\right) \Gamma \left(\frac{1}{10}-x\right) \Gamma \left(\frac{3}{10}-x\right)}{\Gamma \left(-5 x-\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(x+\frac{1}{2}\right)}=100 \cdot 5^{5 x} \cos (\pi x)\pi$

[nikov]

Вот ещё любопытная формула:

$\frac{\Gamma \left(\frac{11}{60}\right) \Gamma \left(\frac{23}{60}\right) \Gamma \left(\frac{47}{60}\right) \Gamma \left(\frac{59}{60}\right)}{\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)}=\frac{2^{2/3} \left(1+\sqrt{3}\right)}{5^{5/12}}\pi ^{3/2}$

[sergei1961]

Интересная формула получилась. Наверное, нужно прологарифмировать, затем взять в форме произведений косинус и сами гаммы? Или ещё проще формулу для $\Gamma(5x)$ использовать?