ОДУ, единственность и виды решений. Не могу разобраться.

[Mr. Brom]

В том-то и дело, что нужно знать в теории, а если утверждаешь что на практике не применимо, то нужно обосновывать почему. ТАк вот по поводу этого примера..если рассматривать Только нижнюю и Только верхнюю полуплоскость (не включая ось абсцисс), то любая кривая будет интегральной кривой и будет являться частным решением (т. к. все точки - точки единственности).
Думаю с этим ясно. Но я вот смотрел тему topic11589.html . И у меня возникло желание разобраться на том примере в мелочах теории..
ИТак:
Дано уравнение $x^{3}y'-2y = 0$ . Постараемся по максимуму его проанализировать.

Решением будет являться вся ось ординат. (У тождественно равен 0).
А также $y=e^{-1/x^{2}+C}$ - общее решение, определенное при "х не равно 0".
А дальше ? Какие точки будут особыми, где будет выполняться единственность ? Вообще как проводить дальнейшее исследование ?

[gris]

И что страшного с этим уравнением?
Любое решение проходит через начало координат.
Общее решение у Вас неверно выписано. Константа стоит перед экспонентой.
Тождественный ноль будет решением. Начало координат — особая точка.
Частные решения в Вашем смысле существуют только в каждой вертикальной полуплоскости без оси ординат, а при пересечении области с началом координат единственность нарушается именно в нем.
Я физически так представляю. Есть некая движущаяся точка с мгновенной скоростью в каждый момент времени, удовлетворяющей нашему уравнению. Если мы поставим точку в любое место кроме начала на оси отсчёта (игрек в нашем случае, а икс будет время) и отпустим, то она начнёт движение или останется на месте, и её движение можно однозначно спрогнозировать вперёд-назад в некотором интервале, но после пересечения в нулевой момент времени начала отсчёта движение точки нельзя предсказать.

Что за страсть такая обязательно написать формулу или приклеить ярлык.

[Mr. Brom]

В моём общем решении $C$ - любое число, а если перед экспонентой - то больше нуля. Если не прав - просьба написать полное решение.

Как определить что любая точка полуплоскости без оси ординат, будет действительно точкой единственности ?

-- 22.09.2011, 23:45 --

gris в сообщении #485331 писал(а):

Начало координат — особая точка.

А остальные точки $(x,0)$ ?

[gris]

Константа может быть и отрицательной. Вспомните, чему равна первообразная логарифма. Там модуль.
Например, $y=-e^{-1/x^2}: y'=-2\cdot x^{-3} \cdot e^{-1/x^2}; x^3y'-2y=0$.
Для любой точки на оси абсцисс кроме начала координат единственное решение на интервале, не содержащем это начало, будет нулевое. Единственность соблюдается.

+ А для лучшего разбора перепишите уравнение в симметричном относительно переменных виде: $x^3\,dy-2y\,dx=0$ да поиграйте с уравнениями $x^a\,dy\pm y^b\,dx=0$

[Portnov]

Термин «общее решение» кривой :/ Просто так исторически сложилось, что его используют.
А на самом деле общее решение — это вообще никакое не решение, это семейство (множество) решений. Ну, с дополнительным свойством, что часто всё это семейство можно описать какой-нибудь одной формулой с несколькими произвольными постоянными.

[Mr. Brom]

А особое решение невозможно получить из так называемого "Общего" ?

А ещё как определить проходит ли через особую точку интегральные кривые ? И если проходят, то почему в случае единственной кривой проходящей через особую точку - она не является точкой единственности ?

[Portnov]

Mr. Brom в сообщении #485495 писал(а):

А особое решение невозможно получить из так называемого "Общего" ?

А это зависит от того, какое именно общее решение и как оно записано. В «классических» случаях (в тех уравнениях, которые в учебниках приводят в качестве примеров) — особые решения не входят в общие. Т.е. получается, что общее решение — это семейство решений, но (в общем случае) не всех, а только некоторых. Какое же оно тогда общее? Вопрос риторический, а термин исторический и потому кривой. Но в каких-то случаях, вероятно, можно записать такое общее решение, которое бы учитывало и особые решения тоже.

Через особые точки, вообще говоря, интегральные кривые (т.е. графики решений) могут проходить, а могут и не проходить. Если не проходят — значит, это такая точка $(x_0,y_0)$, что начальная задача с условием $y(x_0) = y_0$ не имеет решений. У «классических» уравнений (которые в учебниках приводятся как примеры, а не контрпримеры) таких точек нет.
А если через особую точку проходит интегральная кривая — то оттого точка и особая, что интегральная кривая не одна. И начальная задача с условием $y(x_0) = y_0$ имеет больше чем одно решение.

[Mr. Brom]

Т. е. нет таких особых точек, чтобы через неё проходила лишь одна интегральная кривая ?)

[Portnov]

Да. Потому что «точка, через которую не проходит ни одной интегральной кривой или проходит больше чем одна» — это одно из возможных определений особой точки.