Лебеговское продолжение меры

[Samir]

Задание такое:
$X=[0;1[\times[0;1[; S=\{[a,b[\times[c,d[\subset X\}$ - полукольцо
$\mu([a,b[\times[c,d[)=(b^2-a^2)(d-c)$ - мера на нем
Требуется доказать, что $\triangle AOB, O(0,0), A(1,0), B(0,1)$ является измеримым множеством и найти его меру.

Я покрыл это множество маленькими прямоугольниками, сумма мер которых для каждого $n$ равна:

$$\sum_{k=0}^{n-1} \left (\frac {2k+1} {n^2}\right) \left (1-\frac {k} {n}\right)$$

Не знаю, как посчитать инфимум этой суммы по покрытиям. Подскажите

[Dan B-Yallay]

Как Вы получили $\Big(\dfrac {2k+1}{n^2} \Big)$? Если я не ошибаюсь, должно быть $1/n^2$

P.S. Да, я ошибаюсь. У Вас все верно.

[Samir]

$$A\subset \coprod_{k=0}^{n-1} \left[\frac {k} {n}, \frac {k+1} {n}\right[\times \left[0;1- \frac {k} {n}\right[$$

[Dan B-Yallay]

В изначальном ряде раскройте скобки. Получите 4 суммы.

$$\sum_{k=0}^{n-1} \left (\frac {2k+1} {n^2}\right) \left (1-\frac {k} {n}\right)= ...$$

Суммы от $1/n^2, \ 1/n^3$ не зависят, так что вытащите их за пределы сумм.

[Samir]

Сделал. Устремил $n$ к бесконечности. Только как здесь сумму ряда найти?

[Dan B-Yallay]

А что у вас получилось хоть, можно поглядеть на это? А то неясно что советовать.

[Samir]

$$\frac {1} {n^2}\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1) - \frac {1} {n^3}\sum_{k=0}^{n-1}2k^2-\frac {1} {n^3}\sum_{k=0}^{n-1}k$$

[Dan B-Yallay]

Неплохо, но если разбивать, то уж до конца - то есть первую сумму тоже надо того...
И вытащите двойку из обеих сумм заодно.

[Samir]

$$\frac {2} {n^2}\sum_{k=0}^{n-1}k + \frac {1} {n^2}\sum_{k=0}^{n-1}1 - \frac {2} {n^3}\sum_{k=0}^{n-1}k^2-\frac {1} {n^3}\sum_{k=0}^{n-1}k$$

[Dan B-Yallay]

Наверняка первую и последнюю суммы в школе считали - арифметическая прогрессия. Вторая вообще очевидна.

http://en.wikipedia.org/wiki/Summation#Identities

Cмотрим Some summations of polynomial expressions для суммы квадратов.

[Samir]

Ооой. Тут всё понятно. Я просто что-то не так стал интерпретировать).
Спасибо

[Dan B-Yallay]

Вам надо еще показать, что все это хозяйство монотонно убывает и поэтому лимит и будет искомым инфимумом. Это не так уж и трудно.
Без монотонности это неверно.

[Samir]

Да. Монотонность я докажу.

[ewert]

Не надо никаких монотонностей. Измеримость тривиальна даже и не по Лебегу, а просто по Жордану -- поскольку очевидно равна нулю внешняя мера границы.

[Samir]

Да. Монотонность действительно не нужна. Здесь правильный ответ: $\frac {1} {3}$