Знакоположительный ряд.

[Whitaker]

Здравствуйте!
Нужно исследовать такой ряд на сходимость.
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot ...\cdot \ln (n+1)}{\ln (2+p) \cdot \ln (3+p) \cdot ...\cdot \ln (n+1+p)}$
Вот мое решение:
Пусть $p_n$ - общий член нашего ряда, тогда $p_{n+1}=p_n \cdot \dfrac{\ln (n+2)}{\ln (n+2+p)}$.
Воспользуемся признаком Раабе. Для этого составим варианту Раабе.
$R_n=n\Big(\dfrac{p_n}{p_{n+1}}-1 \Big)=n\Big(\dfrac{\ln (n+2+p)}{\ln (n+2)}-1} \Big)=\dfrac{n}{\ln(n+2)}\cdot \ln\Big(\dfrac{n+2+p}{n+2} \Big)=\dfrac{n}{\ln(n+2)}\cdot \ln\Big(1+\dfrac{p}{n+2} \Big)=\dfrac{n}{\ln(n+2)}\cdot \Big(\dfrac{p}{n+2}+O\Big (\dfrac{1}{n^2}\Big ) \Big)=\dfrac{p}{\ln(n+2)}\cdot \dfrac{n+2-2}{n+2}+\dfrac{1}{\ln(n+2)}\cdot O \Big(\dfrac{1}{n} \Big)=\dfrac{p}{\ln(n+2)}-\dfrac{2p}{(n+2)\ln(n+2)}+O\Big (\dfrac{1}{n\ln n} \Big)$.
Очевидно, что $\lim_{n\to\infty}R_n=0<1$
Следовательно, ряд расходится.
Скажите пожалуйста правильно ли я сделал?

С уважением, Whitaker.

[ИСН]

p - это константа, что ли? Хренасе ряд. Сперва непонятно даже, как его на необходимый признак проверить....
...а потом глядишь, всё банально. Это примерно $\sum{\operatorname{const}\over\ln^pn}$, и Раабе тут нужен, как собаке пулемёт.

[Whitaker]

Там написано что $p>0$.
Я правильно всё сделал?

[master]

Рассмотрите частные случаи с 1 и 2, ну а дальше куда кривая выведет

[ИСН]

Я тоже настаивал бы на понимании (что это такое "на самом деле") вместо работы признаком в лоб. Но понимание никак не формализовать, а ответ получен, так чего же боле.

[Whitaker]

Больше ничего в голову не пришло, мне непонятно даже к чему стремится общий член ряда.

[ИСН]

А попробуйте как master советует.

[Whitaker]

У меня получилось, что для $p=1$ и $p=2$ ряд расходится

[ИСН]

У Вас в самом первом сообщении уже получилось, что он для всех p расходится. Я думал, мы приняли к сведению этот факт и теперь добиваемся понимания, почему так.

[Whitaker]

Извините ИСН я Вас немного неправильно понял. Сейчас подумаем почему так.

[Whitaker]

Не понятно мне пока почему так

[ИСН]

Возможно, если положить p=1 и выписать несколько первых членов ряда полностью (без многоточий в середине), то наступит инсайт.

[Whitaker]

Ну вот положили $p=1$ получаем такой ряд:
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln 2}{\ln (n+2)}=\dfrac{\ln 2}{\ln3}+\dfrac{\ln 2}{\ln 4}+\dfrac{\ln 2}{\ln 5}+....$
Что-то не видно здесь инсайта

[nnosipov]

Считая $p$ натуральным, упростите общий член ряда, сократив дробь на её числитель.

[ИСН]

Whitaker в сообщении #484866 писал(а):

Что-то не видно здесь инсайта

Но по крайней мере Вы видите некий простой ряд, где не нужен признак Раабе?