Вычислить сумму синусов с помощью комплексных чисел

[resevus]

Вычислить сумму с помощью комплексных чисел.
$\sin\varphi+\sin 2\varphi+\cdots+\sin n\varphi$

(Оффтоп)

Знаю, что если "по-обычному", можно домножить на $\sin\frac{\varphi}{2}$, потом расписать произведение синусов в разницу косинусов и получить телескопическую.

[alcoholist]

$\sin\varphi={\rm Im} \,e^{i\varphi}$

[profrotter]

$$\sin\varphi+\sin 2\varphi+\cdots+\sin n\varphi=\operatorname{Im}((\cos\varphi+\cos 2\varphi+\cdots+\cos n\varphi)+i(\sin\varphi+\sin 2\varphi+\cdots+\sin n\varphi))=$$

$$=\operatorname{Im}(e^{i\varphi}+e^{2i\varphi}+\cdots+e^{ni\varphi})$$

$e^{i\varphi}+e^{2i\varphi}+\cdots+e^{ni\varphi}$ - частичная сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с начальным членом $e^{i\varphi}$ и знаменателем $e^{i\varphi}$