Вложение поля в себя и автоморфизм

[Joker_vD]

Пусть $K$ — поле, $\varphi\colon K \hookrightarrow K$ — гомоморфизм полей. Верно ли, что $\varphi$ сюръективен и, следовательно всякое вложение поля в само себя — автоморфизм?

Попробовал от противного: взять $y \in K \mathbin{\diagdown} \operatorname{Im}\varphi$, и показать, что он невозможен, но что-то не выходит... такое ощущение, я в упор не замечаю что-то очень простое.

[мат-ламер]

См. Кострикин. "Введение в алгебру" ч.1. стр. 160. (Там где вводится понятие автоморфизма поля и объясняется, что о гомоморфизмах полей не говорят).

[Joker_vD]

мат-ламер
Я в курсе, что говорят обычно только про вложения, расширения и автоморфизмы. Но вот такое вложение — будет ли оно автоморфизмом?

[мат-ламер]

Joker_vD в сообщении #483787 писал(а):

мат-ламер
Я в курсе, что говорят обычно только про вложения, расширения и автоморфизмы. Но вот такое вложение — будет ли оно автоморфизмом?

Да, будет. Там у Кострикина доказательство на три строки. Переписывать неохота.

[RIP]

Лень смотреть, что там у Кострикина, но разве $\varphi\colon f(x)\mapsto f(x^2)$ для $K=\mathbb Q(x)$ не контрпример?

[Joker_vD]

Да, действительно. Спасибо!

А забавно выходит — $\mathbb Q(x)$ содержит целую башню собственных подполей, которые все изоморфны ему самому.