Функциональный анализ, доказательство равенства операторов.

[burduk]

Итак, имеем два ЛНО А и В на Гильбертовом Н, причём такие, что

$$A \leqslant B$$

и

$$B \leqslant A$$

Нужно показать, что

$$A = B$$

Я показал, что

$$\forall x \in H$$

$$((A - B)x,x) = 0$$

Можно ли из этого сделать вывод, что (А-В)- нулевой оператор (и, следовательно, А=В)?

[ewert]

burduk в сообщении #483718 писал(а):

$$((A - B)x,x) = 0$$

Можно ли из этого сделать вывод, что (А-В)- нулевой оператор (и, следовательно, А=В)?

Если гильбертово пространство комплексно, то безусловно: там любая билинейная форма любого оператора является некоторой комбинацией квадратичных. Для вещественного гильбертова пространства этот факт сам по себе неверен, но он всё-таки верен и там, если рассматриваемые операторы самосопряжены; а самосопряжённость подразумевается самой записью типа $A\leqslant B$.

[мат-ламер]

По-моему тут надо сослаться на поляризационное тождество.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #483782 писал(а):

По-моему тут надо сослаться на поляризационное тождество.

Я фактически на него и сослался. Только не обязательно на буквально поляризационное, можно и попроще:

$\begin{cases}\big(A(x+y),x+y\big)=(Ax,x)+(Ax,y)+(Ay,x)+(Ay,y); \\ \big(A(x+iy),x+iy\big)=(Ax,x)-i(Ax,y)+i(Ay,x)+(Ay,y).\end{cases}$

Рассматривая это как систему уравнений для двух неизвестных $(Ax,y)$ и $(Ay,x)$, получим выражение билинейной формы через четыре квадратичных.

(Поляризационное тождество получается усреднением этого результата с аналогичным, полученным заменой сумм в левых частях на разности. Но дело ведь не в конкретном тождестве, а в самом факте возможности хоть как-то выразить билинейную форму через квадратичные.)

[burduk]

ewert, мат-ламер- большое спасибо!