Элементарная теория чисел

[bot]

Whitaker в сообщении #483652 писал(а):

Получается, что точно определить количество делящихся на некоторое определить нельзя

Почему нельзя? Можно ровно так же - с использованием целой части.

[Whitaker]

Пусть у нас есть ряд чисел $1,2,3,...., m+1, m+2,..... M$.
Количество чисел в этом ряду, делящиеся на $k$ равно $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]$.
Теперь рассмотрим такой ряд чисел $1,2,...,m-1$. Количество чисел в этом ряду, делящиеся на $k$ равно $\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]$.

А ведь тогда получается, что количество чисел в ряду $m, m+1,..... M$ делящиеся на k равно $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]-\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]$.
Правильно ли я рассуждаю?

Еще такой вопрос. У меня получается следующее тождество $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]-\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=\Big[\dfrac{M-m+1}{k} \Big]$.
Правильно ли последнее тождество?

[bot]

Правильно до последнего тождества, которое неправильно.

[Whitaker]

Докажем, что $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]-\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=\Big[\dfrac{M-m+1}{k} \Big]$.

1) Пусть $M=kl_1+t_1, 0 \leq t_1 <k$. Тогда получим, что
$\dfrac{M}{k}=l_1+\dfrac{t_1}{k}$. Следовательно, $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]=\Big[l_1+\dfrac{t_1}{k} \Big]=l_1$
2) Пусть $m-1=kl_2+t_2, 0 \leq t_2 <k$. Тогда получим, что
$\dfrac{m-1}{k}=l_2+\dfrac{t_2}{k}$. Следовательно, $\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=\Big[l_2+\dfrac{t_2}{k} \Big]=l_2$
Тогда получаем, что:
$\Big[\dfrac{M}{k} \Big]-\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=l_1-l_2=\Big(\dfrac{M}{k}-\dfrac{t_1}{k} \Big) - \Big(\dfrac{m-1}{k}-\dfrac{t_2}{k} \Big)=\dfrac{M-m+1}{k}+\dfrac{t_2-t_1}{k}$.
Но так как $0 \leq t_1 <k, 0 \leq t_2 <k$, то и $|t_2-t_1|<k$.

[ewert]

Whitaker в сообщении #483656 писал(а):

У меня получается следующее тождество $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]-\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=\Big[\dfrac{M-m+1}{k} \Big]$.
Правильно ли последнее тождество?

А проверьте на простейшем примере:

$\Big[\dfrac{5}{2} \Big]-\Big[\dfrac{3}{2} \Big]=\Big[\dfrac{5-3}{2} \Big];$

$\Big[\dfrac{6}{2} \Big]-\Big[\dfrac{3}{2} \Big]\neq\Big[\dfrac{6-3}{2} \Big].$

(Причина в том, что для каждого из слагаемых в левой части порождающая её цепочка начинается именно с единички, для правой же части -- вовсе нет; отсюда и сбои.)

[Whitaker]

Whitaker в сообщении #483660 писал(а):

Докажем, что $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]-\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=\Big[\dfrac{M-m+1}{k} \Big]$.

1) Пусть $M=kl_1+t_1, 0 \leq t_1 <k$. Тогда получим, что
$\dfrac{M}{k}=l_1+\dfrac{t_1}{k}$. Следовательно, $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]=\Big[l_1+\dfrac{t_1}{k} \Big]=l_1$
2) Пусть $m-1=kl_2+t_2, 0 \leq t_2 <k$. Тогда получим, что
$\dfrac{m-1}{k}=l_2+\dfrac{t_2}{k}$. Следовательно, $\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=\Big[l_2+\dfrac{t_2}{k} \Big]=l_2$
Тогда получаем, что:
$\Big[\dfrac{M}{k} \Big]-\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=l_1-l_2=\Big(\dfrac{M}{k}-\dfrac{t_1}{k} \Big) - \Big(\dfrac{m-1}{k}-\dfrac{t_2}{k} \Big)=\dfrac{M-m+1}{k}+\dfrac{t_2-t_1}{k}$.
Но так как $0 \leq t_1 <k, 0 \leq t_2 <k$, то и $|t_2-t_1|<k$.

Так левая часть - натуральное число, то значит $t_2-t_1$ должно делится на $k$, но так как она меньше $k$, то$\dfrac{t_2-t_1}{k}=0$. Значит $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]-\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=\Big[\dfrac{M-m+1}{k} \Big]$

[ewert]

Whitaker в сообщении #483663 писал(а):

Значит $\Big[\dfrac{M}{k} \Big]-\Big[\dfrac{m-1}{k} \Big]=\Big[\dfrac{M-m+1}{k} \Big]$

Ну что ж тут поделать, если медицинский факт, что не равно.

[Whitaker]

Да да Вы правы ewert. Там оказывается сбои возникают

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #483652 писал(а):

Получается, что точно определить количество делящихся на некоторое $m$ определить нельзя. А я ведь думал то, что я написал верно

Можно. SpbTimes писал:

SpBTimes в сообщении #483611 писал(а):

$n = [\frac{M}{k}] - [\frac{m - 1}{k}]$

Я только хотел сказать, что число делящихся чисел на интервале не является функцией от длины интервала.
-- Сб сен 17, 2011 09:25:57 --

А, извиняюсь, уже разобрались.

[Whitaker]

Sonic86 в сообщении #483681 писал(а):

Whitaker в сообщении #483652 писал(а):

Получается, что точно определить количество делящихся на некоторое $m$ определить нельзя. А я ведь думал то, что я написал верно

Можно. SpbTimes писал:

SpBTimes в сообщении #483611 писал(а):

$n = [\frac{M}{k}] - [\frac{m - 1}{k}]$

Да я понял
Спасибо всем за внимание и помощь!