Просуммировать ряд

[xmaister]

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln \left(1+\frac1{n}\right)\ln \left(1+\frac1{2n}\right)\ln \left(1+\frac1{2n+1}\right)$

Была мысль такая: $\ln (1+\frac1{n})=\ln (n+1)-\ln n$ и дальше из преобраования Абеля что-нибудь высосать, но ничего хорошего не получается. Подскажите идею

(Источник)

IMC 2011 2-ой день №3

[Whitaker]

Воспользуйтесь формулой Тейлора.

[xmaister]

Вы имеете в виду разложить логарифмы и поменять порядок суммирования? Разве эта штука свернётся?

[Klad33]

Да, я разложил в ряд Тэйлора при бесконечном n и приняв 40 членов ряда вычислил эту сумму. Оценка оказалась 0,11032

taylor(log(1+1/n)*log(1+1/(2*n))*log(1+1/(2*n+1)), n = infinity, 40);

Поскольку ряд знакочередующийся, то вычислил сначала сумму до показателя степени 39 , получив сумму 0,1810128. Затем вычислил сумму до показателя степени 38, получив сумму 0,039626. Среднее значение я и написал в самом начале.

Точное значение Волфрам дает 0,11100821732586

[myra_panama]

Вот источник : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=79&t=421529

[xmaister]

Спасибо!