Главное значение интеграла?

[Nimza]

Подскажите, какой смысл придаётся следующему равенству?

$\int\limits_{\mathbb{R}} e^{irs} (-i \mathop{sgn}{r} ) dr = \frac{1}{s+i0} + \frac{1}{s-i0}$

В следующей строчке отсюда выведено

$\int\limits_{\mathbb{R}} \int\limits_{\mathbb{R}} q(s) e^{irs} (-i \mathop{sgn}{r} ) drds= p.v. \int\limits_{\mathbb{R}} \frac{q(s)}{s} ds$

Если посчитать обратное преобразование Фурье от $2/s$, то получается как раз $(-i \mathop{sgn}{r})$. Получается первое выражение --- это условный способ записи для преобразования Фурье, когда обратное существует, а прямое нет? (тут интеграл расходится даже в смысле главного значения) Или я запутался совсем

[AlexValk]

Смысл такой - "регуляризация" интеграла для обеспечения сходимости на бесконечности:

$$\int\limits_{\mathbb{R}} e^{irs} (-i \,{\rm sgn}(r) ) dr =\lim_{\varepsilon\to+ 0}\int\limits_{\mathbb{R}} e^{irs} e^{-\varepsilon \left|r\right|} (-i\, {\rm sgn}(r) ) dr$$

Альтернативная трактовка - формально имеем

$$\int\limits_{\mathbb{R}} e^{irs} (-i \,{\rm sgn}(r) ) dr =\int\limits_{-\infty}^0 e^{irs} (-i\, {\rm sgn}(r) ) dr + \int\limits_0^\infty e^{irs} (-i\, {\rm sgn}(r) ) dr= \int\limits_{-\infty}^0 e^{irs} (i) dr+\int\limits_0^\infty e^{irs} (-i) dr,$$

и чтобы обеспечить сходимость каждого интеграла производим бесконечно малые сдвиги параметра $s\in\mathbb{R}$ (по разному в каждом из интегралов)

$$ \int\limits_{-\infty}^0 e^{irs} (i) dr=\int\limits_{-\infty}^0 e^{ir(s-i 0)} (i) dr, \quad \int\limits_0^\infty e^{irs} (-i) dr=\int\limits_0^\infty e^{ir(s+i 0)} (-i) dr. $$

[Nimza]

Вот это круто, не знал о таком :)