Пространство и система координат

[shkolnik]

До сих пор не совсем понимаю, как связаны пространство и система координат.
Я, как-то привык, что пара перпендикулярных прямых с нулем в точке пересечения (декартовы координаты) идентифицирует плоское двумерное Евклидово пространство. Мне сказали, что пространство не задается системой координат и они вообще слабо связаны.
Подскажите, почему декартовы координаты не идентифицируют плоское двумерное Евклидово пространство ?
В каком другом плоском пространстве той же размерности эта система координат может находится ?
Чем тогда отличается это пространство от Евклидова ?
Можно ли прямолинейную ортогональную СК задать в криволинейном пространстве той же размерности ? Если нет, то почему соответствующая этому пространству криволинейная СК не идентифицирует его (в каком еще криволинейном пространстве она возможна и в чем тогда отличие этих пространств) ?
Можно ли криволинейную СК задать в плоском пространстве той же размерности ?
Почему СК не обязана покрывать все точки пространства (или обязана) ?
Существует ли пространство, которое не покрывается полностью ни одной СК ?

[Oleg Zubelevich]

начинаем учиться: Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия.

[epros]

shkolnik в сообщении #483453 писал(а):

почему декартовы координаты не идентифицируют плоское двумерное Евклидово пространство ?

Попробую перевести: "Определяет ли двумерная Декартова система координат Евклидову плоскость"? Вы это хотели спросить?
Ответ: Да, определяет. Но слово "Декартова" существенно, т.е. базисные вектора в каждой точке этой СК должны быть единичны и ортогональны.

shkolnik в сообщении #483453 писал(а):

Мне сказали, что пространство не задается системой координат и они вообще слабо связаны.

Вероятно имелось в виду, что просто СК (без уточнения, что она Декартова) пространство не определит, не хватает метрики - данных о том, каковы расстояния между точками, заданными соответствующими координатами.

shkolnik в сообщении #483453 писал(а):

Можно ли прямолинейную ортогональную СК задать в криволинейном пространстве той же размерности ?

Нет, нельзя. Только обращаю внимание, что цилиндр и конус не являются "криволинейными пространствами той же размерности", что и плоскость. На самом деле они имеют нулевую кривизну, т.е. их можно развернуть (сохранив длины проведённых на них линий) в плоскость.

shkolnik в сообщении #483453 писал(а):

почему соответствующая этому пространству криволинейная СК не идентифицирует его

Аналогично координатам на плоскости, нужна метрика. Например, координаты "широты" и "долготы" на сфере - $(\theta,\varphi)$ - следует дополнить информацией о расстояниях между точками сферы:
$dr^2 = R^2 (d\theta^2 + d\varphi^2 \cos^2 \theta)$, где $R$ - радиус сферы.

shkolnik в сообщении #483453 писал(а):

Можно ли криволинейную СК задать в плоском пространстве той же размерности ?

Пример криволинейных координат на плоскости - полярная СК.

shkolnik в сообщении #483453 писал(а):

Почему СК не обязана покрывать все точки пространства (или обязана) ?

А почему должна быть обязана?

[shkolnik]

epros Спасибо Вам, за подробный ответ.

Oleg Zubelevich в сообщении #483455 писал(а):

начинаем учиться: Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия.

Спасибо.

epros в сообщении #483466 писал(а):

Вероятно имелось в виду, что просто СК (без уточнения, что она Декартова) пространство не определит, не хватает метрики - данных о том, каковы расстояния между точками, заданными соответствующими координатами.

Т.е. если расстояния не определяются теоремой Пифагора (квадратичной метрикой?), пространство все равно может быть плоским ?
Как же тогда определяется плоскость простраснства ?

epros в сообщении #483466 писал(а):

Только обращаю внимание, что цилиндр и конус не являются "криволинейными пространствами той же размерности", что и плоскость. На самом деле они имеют нулевую кривизну, т.е. их можно развернуть (сохранив длины проведённых на них линий) в плоскость.

Круто, но не понятно, как расстояния между точками на "кривом" пространстве могут быть равны расстоянию на плоском ?

epros в сообщении #483466 писал(а):

Аналогично координатам на плоскости, нужна метрика. Например, координаты "широты" и "долготы" на сфере - $(\theta,\varphi)$ - следует дополнить информацией о расстояниях между точками сферы:
$dr^2 = R^2 (d\theta^2 + d\varphi^2 \cos^2 \theta)$, где $R$ - радиус сферы.

Получается, что есть равные точки в сферических координатах, которые не равны в ортогональных (той же размерности) ?
Т.е. сферические координаты покрывают меньше точек пространства чем ортогональные ?

[Neloth]

shkolnik в сообщении #483545 писал(а):

Круто, но не понятно, как расстояния между точками на "кривом" пространстве могут быть равны расстоянию на плоском ?

А как, например, должны измениться длины линий на листе бумаги, если свернуть его в цилиндр?

[shkolnik]

Neloth в сообщении #483568 писал(а):

shkolnik в сообщении #483545 писал(а):

Круто, но не понятно, как расстояния между точками на "кривом" пространстве могут быть равны расстоянию на плоском ?

А как, например, должны измениться длины линий на листе бумаги, если свернуть его в цилиндр?

Хм... Наверно, для наблюдателя на листе бумаги никак. Но для наблюдателя в трехмерии расстояние уменьшится (по прямой ) или увеличится (по кривой).

[Neloth]

shkolnik в сообщении #483572 писал(а):

Но для наблюдателя в трехмерии расстояние уменьшится (по прямой ) или увеличтся (по кривой).

По прямой естественно уменьшится, но расстояния измеряются вдоль линий на цилиндре.
Если длины этих линий должны увеличиваться, то насколько: если мы свернем линию, длинной $l$ в окружность, какова будет ее длинна?

[epros]

shkolnik в сообщении #483545 писал(а):

Т.е. если расстояния не определяются теоремой Пифагора (квадратичной метрикой?), пространство все равно может быть плоским ?

Пример - полярные координаты: та же Евклидова плоскость, но длины отрезков выражаются не корнем из суммы квадратов разностей координат.

shkolnik в сообщении #483545 писал(а):

Как же тогда определяется плоскость простраснства ?

Тензор кривизны нужно посчитать. Если по-простому: Нужно проверить, при переносе вектора по контуру совпадёт ли он с собой (до переноса). Или равны ли суммы углов треугольников 180 градусам. Или равны ли отношения длин окружностей к диаметрам числу пи.

shkolnik в сообщении #483545 писал(а):

Получается, что есть равные точки в сферических координатах, которые не равны в ортогональных (той же размерности) ?
Т.е. сферические координаты покрывают меньше точек пространства чем ортогональные ?

Не понял, Вы о чём? Как Вы собираетесь сравнивать количества точек пространств? Сфера по геометрии, очевидно, отличается от плоскости, независимо от того, какие координаты проведены на одной и другой.

[shkolnik]

Еще один вопрос.
Выше говорилось о сворачивании в цилиндр плоскости. Расстояния между точками не меняются.
А если пространство не жесткое ?
Рассмотрим вместо цилиндра одномерный случай. Есть прямая, на ней две точки $A,B$ на расстоянии $r$. Соединим концы прямой, чтобы образовался цилиндр круг. Допустим точки лежат на диаметре, расстояние между ними по (периметру) не изменилось, если прямая аналог листа бумаги, т.е. жесткая. А если прямая эластичная ? Тогда на ее участке можно образовать "петлю" - круг того же диаметра, растянув и изогнув линию на данном участке, соединив концы. Предположим, точки $A,B$ также лежат на диаметре. Но в данном случае расстояние между ними (по периметру) увеличилось (если линейки жесткие).
Может есть специальные термины, чтобы различать эти два, очевидно не эквивалентных способа сворачивания пространств в цилиндр (круг) ?
И остается ли пространство плоским во втором случае (когда пространство не жесткое, а линейки СК жесткие) ?

[epros]

shkolnik в сообщении #492747 писал(а):

А если пространство не жесткое ?

Это значит, что расстояния между точками, а значит и геометрия, могут меняться. Например, раздувающийся воздушный шарик - это пример двумерного пространства, геометрия которого меняется со временем.

shkolnik в сообщении #492747 писал(а):

Соединим концы прямой, чтобы образовался цилиндр круг.

Как это?

shkolnik в сообщении #492747 писал(а):

Допустим точки лежат на диаметре, расстояние между ними по (периметру) не изменилось

Тоже непонятно.

[shkolnik]

epros в сообщении #493306 писал(а):

shkolnik в сообщении #492747 писал(а):

А если пространство не жесткое ?

Это значит, что расстояния между точками, а значит и геометрия, могут меняться. Например, раздувающийся воздушный шарик - это пример двумерного пространства, геометрия которого меняется со временем.

Но само пространство остается тем же самым ? Пока не могу сообразить, в каких случаях меняется пространство, в каких геометрия, в каких и то, и другое.

epros в сообщении #493306 писал(а):

shkolnik в сообщении #492747 писал(а):

Соединим концы прямой, чтобы образовался цилиндр круг.

Как это?

Я просто изложил одномерный случай Вашего примера с листом бумаги, который свернули в цилиндр. Берем вместо листа бумаги ниточку и сворачиваем ее в круг. Вы говорили, что пространство на цилиндре остается плоским, по аналогии, получается, что пространство на круге тоже плоское (линейное).

epros в сообщении #493306 писал(а):

shkolnik в сообщении #492747 писал(а):

Допустим точки лежат на диаметре, расстояние между ними по (периметру) не изменилось

Тоже непонятно.

Ну, если ниточку свернули в круг, то расстояние между узелками на ниточке не изменится. А если взяли не ниточку, а резинку, то можно не соединять концы резинки, а просто растянуть пространство между узелками, как бы намотав его на цилиндр. Тогда опять образуется круг, но расстояние между узелками уже станет больше начального, т.к. диаметр можно выбрать произвольно большой.

[ewert]

shkolnik в сообщении #493386 писал(а):

Берем вместо листа бумаги ниточку и сворачиваем ее в круг.

А вот не свернётся. В лучшем случае свернётся в окружность. Слова, знаете ли, тоже следует выбирать.

[epros]

shkolnik в сообщении #493386 писал(а):

Но само пространство остается тем же самым ? Пока не могу сообразить, в каких случаях меняется пространство, в каких геометрия, в каких и то, и другое.

Это сродни вопросу про то, меняется ли человек с возрастом или остаётся тем же самым.

Как определите, так и будет. С точки зрения "чистой" геометрии удобнее считать, что раз геометрия другая, то и "само пространство" другое. Но если речь, например, об изменении геометрии пространственного трёхмерия нашей Вселеной со временем (в космологическом решении), то удобнее считать, что пространство "всё то же", просто его геометрия меняется со временем.

shkolnik в сообщении #493386 писал(а):

по аналогии, получается, что пространство на круге тоже плоское (линейное).

Вообще-то к одномерному пространству неприменимо понятие кривизны (внутренней).

shkolnik в сообщении #493386 писал(а):

Ну, если ниточку свернули в круг, то расстояние между узелками на ниточке не изменится.

Уточню: свернули, но концы не соединили. Потому что соединение концов - это уже изменение геометрии: концы, между которыми раньше было некое расстояние, оказались на нулевом расстоянии друг от друга.

shkolnik в сообщении #493386 писал(а):

А если взяли не ниточку, а резинку

То же самое, что раздувание воздушного шарика: расстояния меняются, меняется и геометрия.