Последовательность в топологическом пространстве

[xmaister]

Здарвствуйте! Нужно доказать, что для любой последовательности $A_1,A_2,\ldots$подмножеств топологического пространства имеет место равенство:

$$\overline{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\overline{A_i}\cup\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}\overline{\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_{i+j}}$$

Туплю, не могу понять, ка решать. Подскажите.
Благодарю.

[JMH]

Мне кажется, можно начать с равенства $\overline{\bigcup\limits_{i=1}^{N}A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^{N}\overline{A_i}$ для любого конечного $N$. Затем рассмотреть произвольную точку, принадлежащую замыканию счётного объединения множеств.