Как перейти от потенциала к заряду?

[phys]

Цилиндрический бесконечно длинный конденсатор. Заданы $R_0, R, \Delta \varphi$. Так же задана зависимость $\varepsilon = f(r) $
Необходимо найти $\vec{D}$

Так как $\oint \vec{D(r)}\vec{ds} = q$ то нужно как то перейти к заряду, который находиться на поверхности трубки в некотором бесконечно тонком сечении. Как это сделать? Идей нет. Знаю точно, что для точечного заряда можно записать $\varphi = \frac {kq} {r}$ откуда выражается $q$, вот только каков физический смысл этого $q$ это раз, да и не точечный заряд у меня здесь, это два.

[phys]

Вообще мне пришла в голову мысль что разность зарядов может быть разной и подбрана так, чтобы разность потенциалов оставалась постоянной, тоесть, вобщем то никак и не определишь.

[espe]

phys в сообщении #483265 писал(а):

Вообще мне пришла в голову мысль что разность зарядов может быть разной

В обычных конденсаторах разность зарядов равна нулю. Заряды на обкладках равны по величине и имеют противоположные знаки. В задачах про бесконечные конденсаторы обычно используется поверхностная или линейная плотность зарядов. Обозначте её какой-нибудь буквой и решайте задачу. В ответе она должна сократиться.

[profrotter]

Не нужен вам никакой заряд.
Электростатическое поле описывается системой уравнений Максвелла:

$$\operatorname{rot}\overrightarrow{E}=0$$

$$\operatorname{div}\overrightarrow{D}=\rho$$

$$\overrightarrow{D}=\varepsilon_0 \varepsilon \overrightarrow{E}$$

где $\rho$ - объёмная плотность заряда.
Заменив во втором уравнении $\overrightarrow{D}$ через $\overrightarrow{E}$ и вводя электростатический потенциал $\overrightarrow{E}=-\operatorname{grad}\varphi$, получим следующее уравнение:

$$\varepsilon_0 \operatorname{div} \varepsilon \operatorname{grad}\varphi=-\rho$$

В каждой точке внутри конденсатора заряды отсутствуют и там потенциал удовлетворяет уравнению:

$$\varepsilon_0 \operatorname{div} \varepsilon \operatorname{grad}\varphi=0$$

с граничными условиями:

$$\varphi(R_1)=\varphi_1$$

$$\varphi(R_2)=\varphi_2$$

Где $R_1,R_2$ - радиусы обкладок, $\varphi_1,\varphi_2$ - потенциалы обкладок, $\varphi_2 - \varphi_1=\Delta \varphi$
Вводите цилиндрическую систему координат и, решая записанное уравнение, находите потенциал. Потом напряжённость электрического поля . Потом вектор индукции.

[ewert]

profrotter в сообщении #483367 писал(а):

В каждой точке внутри конденсатора заряды отсутствуют

Между прочим, присутствуют, раз диэлектрическая проницаемость переменна. Но не в них дело.

profrotter в сообщении #483367 писал(а):

решая записанное уравнение, находите потенциал.

Зачем уравнение-то?... Из уравнений Максвелла сразу же $D(r)=\frac{q}{r}$, только вот заряд $q$ на обкладках пока неизвестен. Ну так $\Delta\varphi=\int\limits_{R_1}^{R_2}E(r)\,dr=\int\limits_{R_1}^{R_2}\frac{D(r)}{\varepsilon(r)}\,dr$, что и даёт необходимое выражение для заряда через разность потенциалов, вот и всё. (Надо только навести здесь порядок с константами, зависящими от выбора системы единиц -- мне лень это делать.)

[profrotter]

Не присутствуют! - Просто среда неоднородна. Ему по условию задачи надо найти именно вектор индукции, а не заряд.

[Александр Т.]

ewert в сообщении #483676 писал(а):

profrotter в сообщении #483367 писал(а):

В каждой точке внутри конденсатора заряды отсутствуют

Между прочим, присутствуют, раз диэлектрическая проницаемость переменна.

profrotter в сообщении #483804 писал(а):

Не присутствуют!

Консенсус будет достигнут, когда profrotter уточнит, что он имеет в виду свободные заряды, а ewert — что он имеет в виду заряды вообще.

[ewert]

(Оффтоп)

Я только на всякий случай дополню, что в $D(r)=\frac{q}{r}$ одна двоечка потеряна, конечно; но это, надеюсь, всем ежам и так ясно.

[phys]

ewert прав, решается как будто заряд дан, а уже после определения $E$ через его интеграл и потенциал выражается линейная плотность.