Сходимость положительного ряда.

[Whitaker]

Здравствуйте!
Надо исследовать на сходимость следующий ряд:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$, где
$a_n=\left\{\begin{matrix} \\ \dfrac{1}{n}, n=m^2 \\ \dfrac{1}{n^2}, n \neq m^2 \end{matrix}\right.$
Явно применить признак Даламбера не получается. Не понимаю как это сделать.
Подскажите пожалуйста как сделать.

[SpBTimes]

2 последующих квадрата отличаются на $(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$
Ясно, что при больших n всё хорошо.

[Whitaker]

SpBTimes в сообщении #482802 писал(а):

2 последующих квадрата отличаются на $(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$
Ясно, что при больших n всё хорошо.

Извините уважаемый SpBTimes, но я не понял Вас

[Dan B-Yallay]

Whitaker
Выпишите первые несколько членов ряда.

[SpBTimes]

Whitaker в сообщении #482804 писал(а):

Извините уважаемый SpBTimes, но я не понял Вас

Редкая "гармоничность" сходимости не помешает. Можете воспользоваться вообще интегральным признаком

[ИСН]

Можете считать, что это тупо два ряда. Оба знакомые.

[Whitaker]

Dan B-Yallay в сообщении #482817 писал(а):

Whitaker
Выпишите первые несколько членов ряда.

Вот несколько первых членов данного ряда:
$1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{7^2}+\dfrac{1}{8^2}+\dfrac{1}{9}+....$

-- Ср сен 14, 2011 08:00:58 --

Не знаю может быть она сверху оценивается чем-нибудь сходящимся.

[Henrylee]

Whitaker,
Вам же дали прекрасную подсказку

ИСН в сообщении #482822 писал(а):

Можете считать, что это тупо два ряда. Оба знакомые.

Один оценивается рядом из квадратов, а второй он и есть.

[Sonic86]

Можно даже сумму вычислить...

[Whitaker]

Sonic86 в сообщении #482851 писал(а):

Можно даже сумму вычислить...

А как?

[Klad33]

По моим беглым прикидкам это будет:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum \limits _{k=2}^{\infty}\frac{k^2-1}{k^4}=\frac{\pi^2}{3}-\frac{\pi^4}{90} \approx 2.207544900$

Это похоже на правду, потому что я численно прорешал сумму ряда с поста 14.09.2011, 08:20 до n=36 и получил 2.027803875

[PAV]

Вообще-то ряд довольно очевидным образом выражается через ряды $\sum\frac{1}{n^2}$ и $\sum\frac{1}{n^4}$

[Whitaker]

У меня получилось следующая оценка:
$\sum \limits_{n=1}^{N}a_n \leq\sum \limits_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^2}+\sum \limits_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^2} $

[Klad33]

PAV в сообщении #482858 писал(а):

Вообще-то ряд довольно очевидным образом выражается через ряды $\sum\frac{1}{n^2}$ и $\sum\frac{1}{n^4}$

О второй сумме можно поподробней?

-- 14.09.2011, 11:13 --

Whitaker в сообщении #482860 писал(а):

У меня получилось следующая оценка:
$\sum \limits_{n=1}^{N}a_n \leq\sum \limits_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^2}+\sum \limits_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^2} $

Ваша оценка верная и в бесконечности она меньше на $\frac{\pi^4}{90}$

[PAV]

Klad33 в сообщении #482862 писал(а):

О второй сумме можно поподробней?

Что именно? Это дзета-функция в точке 4, значение равно $\frac{\pi^4}{90}$

-- Ср сен 14, 2011 12:44:51 --

Значение суммы исходного ряда действительно равно $\frac{\pi^2}{3}-\frac{\pi^4}{90}$, это довольно очевидно (если знать про указанные ряды).