сепарабельное банахово пространство

[Oleg Zubelevich]

Показать, что всякое сепарабельное банахово пространство изоморфно факторпространству пространства $l_1$.

[Oleg Zubelevich]

Решение. Через $X$ обозначим сепарабельное банахово пространство. Пусть $S=\{e_n\}_{n\in\mathbb{N}},\quad \|e_k\|_X\le 1$ -- система векторов плотная в шаре
$B=\{x\in X\mid \|x\|_X\le 1\}$.

Очевидно, пространство $L=\mbox{span}\,S$ плотно в $X,\quad \overline S=B.$

Введем ограниченный оператор $A:l_1\to X$ по формуле $A(\{u_n\}_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}u_ne_n.$
Наша задача показать, что $A$ является отображением "на", тогда $X$ изоморфно $l_1/\mbox{ker}\, A$.

кто-нибудь продолжит?

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Пусть $E,F$ -- банаховы пространства и $A:E\to F$ -- непрерывное линейное отображение. Оператор $A$ является отображением "на" тогда и только тогда, когда $A'$ является сильным гомеомрфизмом между $F'$ и $A'(F')\subseteq E'$.

[Oleg Zubelevich]

Вычислим оператор $A':X'\to l_\infty (=l_1')$.
Пусть $f\in X',\quad u=\{u_n\}\in l_1$. Тогда $(Au,f)=(u,A'f)=\sum _{n\in\mathbb{N}}u_nf(e_n).$ Отсюда получаем $A'f=\{f(e_n)\}\in l_\infty$
Поскольку ограниченный линейный функционал определен своими значениями на плотном множестве однозначно, имеем $\mbox{ker}\, A'=\{0\}$.



Нам надо проверить, что $A'(X')$ -- замкнуто. Тогда по теореме Банаха об обратном операторе, $A'$ -- гомеоморфизм.

Пусть последовательность $a_n=\{a_{kn}\}_{k\in\mathbb{N}}$ принадлежит $A'(X')$ и $\|a_n-a\|_{l_\infty}=\sup_k|a_k-a_{kn}|\to 0$ при $n\to \infty$ и некотором $a=\{a_k\}\in l_\infty$
Из этих предположений, в частности, следует, что найдутся функционалы $\{f_n\}\subset X'$ такие, что $f_n(e_k)=a_{kn}$. Таким образом последовательность $f_n$ сходится равномерно на иножестве $S$.

Последовательность $\{f_n\}$ равностепенно непрерывна на $B$:

$$ \|f_n\|_{X'}=\sup_{x\in B}|f_n(x)|=\sup_{x\in S}|f_n(x)|\le\sup_{k,n}|a_{kn}|<\infty.$$

Поэтому последовательность $\{f_n\}$ сходится равномерно на $B$. Это означает, что она сходится по норме пространства $X'$ к непрерывному линейному функционалу $f:X\to\mathbb{R}$ такому, что $f(e_j)=a_j$ и соответственно $ A'f=a.$

ЧТД