Очень простая (наверное) задача по кинематике

[dnoskov]

Лодку тянут за верёвку с крутого берега с постоянной по модулю скоростью $\vec{v}$. Найдите зависимость модуля скорости $u$ лодки от угла $\alpha$ между верёвкой и горизонтальным направлением.

Мои соображения:
(Думаю, что чертёж не нужен)
Верёвка вытягивается под углом $\alpha$ к оси $Ox$ (направленной в сторону движения лодки) поэтому $v_x=v\cdot \cos \alpha$. Полученная проекция скорости является скоростью, с которой движется точка $A$ $\triangle ABC (\angle A = \alpha, \angle C = 90^\circ, BC = \operatorname{const})$, т.е. той самой скоростью, с которой движется лодка (правильно?). Т.о. имеем: $u (\alpha)= v\cdot \cos \alpha$.

Ответ, указанный в учебнике: $u=\frac{v}{\cos \alpha}$

Я тут сомневаюсь. Если дело так обстоит, то, выходит, скорость лодки может быть больше скорости, с которой вытягивают верёвку. Это адекватно?

[Himfizik]

Нет. Веревка в данном случае - это кинематическая связь (как стержень, натянутая нить и др. часто встречающееся в таких задачах). Проецируя именно скорость лодки на направление вдоль веревки, мы обязаны получить скорость веревки (лодку тянут за веревку, а не веревку за лодку). Ответ в задачнике правильный, все адекватно.

[мат-ламер]

dnoskov в сообщении #482522 писал(а):

Ответ, указанный в учебнике: $u=\frac{v}{\cos \alpha}$

Я тут сомневаюсь. Если дело так обстоит, то, выходит, скорость лодки может быть больше скорости, с которой вытягивают верёвку. Это адекватно?

При приближении угла к прямому скорость (по формуле) может превысит скорость света. Не учитывается, что верёвка должна лодку устремлять к берегу, а у лодки нет средств с этим бороться. (Тут даже большой киль не поможет). По идее лодку должно выбросить на берег.

[dnoskov]

Himfizik в сообщении #482532 писал(а):

Нет. Веревка в данном случае - это кинематическая связь (как стержень, натянутая нить и др. часто встречающееся в таких задачах). Проецируя именно скорость лодки на направление вдоль веревки, мы обязаны получить скорость веревки

Т.е. $u_v = u \cdot \cos \alpha = v \Rightarrow u = \frac{v}{\cos \alpha}$? Ну да, сам вижу...

Спасибо!

мат-ламер, во-во. А почему же тогда это верный ответ?

Himfizik, а про кинематические связи где-нибудь написано по-подробнее, чем в Вашем сообщении, а то в учебниках, которыми я располагаю - не. Буду признателен за какие-нибудь разъяснения/ссылки.

Просто хотелось бы понять обоснованность такого проецирования (что-то очень смутно всплывает со времён школы, но очень расплывчато).

[Joker_vD]

(Оффтоп)

dnoskov в сообщении #482522 писал(а):

Если дело так обстоит, то, выходит, скорость лодки может быть больше скорости, с которой вытягивают верёвку.

Напомнило задачку: Вы находитесь в лодке, лодка посреди озера, у вас ничего нет, кроме метра веревки. Как заставить лодку двигаться? Ответ: привязываем веревку к корме, становимся лицом к корме и начинаем часто и сильно дергать веревку.

[Himfizik]

Вот ссылка: http://school-collection.edu.ru/catalog ... 5f2a04b301
здесь Вы найдете две статьи. В одной подробно рассматриваются кинематические задачи со связями, в другой, что более интересно, разбирается применение кинематических связей в задачах динамики.

[dnoskov]

Himfizik
Большое спасибо!

[Leonov1997]

мат-ламер в сообщении #482534 писал(а):

dnoskov в сообщении #482522 писал(а):

Ответ, указанный в учебнике: $u=\frac{v}{\cos \alpha}$

Я тут сомневаюсь. Если дело так обстоит, то, выходит, скорость лодки может быть больше скорости, с которой вытягивают верёвку. Это адекватно?

При приближении угла к прямому скорость (по формуле) может превысит скорость света. Не учитывается, что верёвка должна лодку устремлять к берегу, а у лодки нет средств с этим бороться. (Тут даже большой киль не поможет). По идее лодку должно выбросить на берег.

Мат-ламер простите, но если угол будет приближаться к 90 градусам, разве косинус этого угла не будет стремиться к нулю???? И тогда о какой скорости света можно говорить???

[мат-ламер]

Leonov1997 в сообщении #900309 писал(а):

Мат-ламер простите, но если угол будет приближаться к 90 градусам, разве косинус этого угла не будет стремиться к нулю???? И тогда о какой скорости света можно говорить???

Я скорее всего не понял условие, поэтому, возможно, местами написал ерунду. Ваш вопрос вообще не понял. По формуле скорость растёт неограничено.

[Oleg Zubelevich]

задача на теорему о сложении скоростей: $\overline v=\overline v_r+\overline v_e$. Подвижная система координат $OXY$ выбирается следующим образом: начало системы $O$ -- это человек, который тянет веревку, ось $Y$ все время проходит вдоль веревки через лодку. Ответ получается мгновенно, без вычислений.

[Legioner93]

Если вам непонятны эти пасы с проецированием, то посмотрите на задачу совсем-совсем абстрактно-математически:

Имеем: Прямоугольный треугольник; гипотенуза $c$ – длина веревки, $\dot{c}=v$, горизонтальный катет $b$ – расстояние от лодки до берега, $\dot{b}=u$, вертикальный катет $a$ – высота берега, $\dot{a}=0$ (высота берега постоянна).

Дифференцируем теорему Пифагора, получаем $b\dot{b}=c\dot{c}$, откуда и следует правильный ответ.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #900316 писал(а):

По формуле скорость растёт неограничено.

"Разве можно от женщины формулы требовать многого?"
Понятно, что это идеализация: не учитывается деформация веревки и лодки, конечность скорости звука, сопротивление воды и воздуха, ограниченная мощность лебедки, плеск гиппопо в Лимпопо, ...