Ошибка при решении УРЧП

[Taus]

Решить уравнение с данными условиями:

$$\frac{\partial z}{\partial x}+(z-x^2){\frac{\partial z}{\partial y}}=2x$$$$z(x,2x^2)=x^2+x$$

Решаем. Уравнение квазилинейное неоднородное, ищем решение в виде функции $G(x,y,z)=0$:

$$\frac{\partial G}{\partial x}+(z-x^2){\frac{\partial G}{\partial y}}+2x{\frac{\partial G}{\partial z}}=0$$

Пишем систему:

$$dx=\frac{dy}{z-x^2}=\frac{dz}{2x}$$

Отсюда получаем два первых интеграла: $z-x^2=C_1$ и $zx-x^3-y=C_2$. Подставляем граничные условия:

$$\begin{cases} z-x^2=\tilde{C_1} \\ zx-x^3-2x^2=\tilde{C_2} \end{cases}\rightarrow \begin{cases} x=\pm\sqrt{z-\tilde{C_1}} \\ z=x^2+2x+\frac{\tilde{C_2}}{x} \end{cases} $$

Подставляем в наше начальное условие:

$$x^2+x+\frac{\tilde{C_2}}{x}=z-\tilde{C_1}\pm\sqrt{z-\tilde{C_1}}$$

Вместо $\tilde{C_1}$ и $\tilde{C_2}$ подставляем первые интегралы, и выражаем $z$. Получаем $z=x^2-x+y/x$. Проверка:

$$2x-1-\frac{y}{x^2}+\left(x^2-x+\frac{y}{x}-x^2\right)\frac{1}{x}=2x-2\neq2x$$

Начальные условия очевидно выполняются.

Помогите найти ошибку в решении.

[ГАЗ-67]

В третьем уравнении со знаками не ошиблись ?

[Taus]

Нет, так как $z'_x=-{G'_x}/{G'_z}$.

[Dimoniada]

Taus в сообщении #482319 писал(а):

Отсюда получаем два первых интеграла: $z-x^2=C_1$ и $zx- \frac {x^3} {3} -y=C_2$.

[Taus]

Dimoniada, первые интегралы посчитаны верно. Берём сначала $x$ и $z$, а потом $x$ и $y$.
Ошибку нашёл, можно закрывать.

[Dimoniada]

Да, глупость написала.