Задача про РЯДЫ

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума. На лекции нам предложили подумать вот над такой гипотезой (условие передаю по памяти(что-то в Сети не нашел) ,поэтому заранее извиняюсь за возможную неточность):

Пусть $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\ a_n$ (1) - сходится в среднем, но сам ряд расходится. Тогда $\exists$ множество B $\subset \mathbb R$ - бесконечное такое, что для $\forall A \in B \exist $ ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\ a_n^*$ сходится в среднем к A,
где ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\ a_n^*$ - это перестановка членов ряда (1).

PS. Возможно это уже давно не гипотеза и у этой проблемы есть строгое доказательство. Возможно даже есть ссылка на соответствующую статью или на литературу, где есть решение. Всем спасибо за внимание)

[gris]

А сходимость переставленного ряда тоже ведь понимается в среднем? Вы бы это как-то обозначили, а то я уж и контрпример придумал

[3.14]

Переставленный ряд, вроде, должен просто сходится...Это гипотеза, вероятно, должна быть неким аналогом теоремы Римана об условно сходящихся рядах, только за место условного ряда у нас ряд, сходящийся в среднем..

-- 10 сен 2011, 20:46 --

хотя я не помню))) как должен сходится переставленный ряд..

[gris]

Ряд 1-1+1-1+1-1+... сходится в среднеарифметическом, но расходится при любой перестановке из-за необходимого признака. Так что для переставленного ряда, вероятно, предполагается сходимость в том же смысле, то есть средняя арифметическая.

[3.14]

Скорее всего вы правы..Вот этот замечательный ряд 1-1+1-1+... сходится в среднем и можно,если я не ошибаюсь(только эти ряды начали проходить), выбрать множество

$$ B = \lbrace 1/2 + n : n \in \mathbb Z \rbrace $$

такое, что любая перестановка ряда 1-1+1-1+.... будет сходится в среднем к элементу из множества В..Вроде так...

-- 10 сен 2011, 21:15 --

Вот условие подправил, в связи с замечанием.

[gris]

...

[3.14]

А есть какие-нибудь идеи насчет общего случая? Может это вовсе уже не гипотеза? Хотя пока нигде не видел похожего условия данной теоремы..

[Хорхе]

Да вовсе и не проблема и даже как-то просто вроде совсем, если я не глючу. Cреднюю сумму этого ряда сделать сколь угодно большой (поскольку сумма положительных членов этого ряда бесконечна).