линейное УРЧП

[Nimza]

Уравнение такое

$\theta \cdot \nabla \varphi(x) + a(x) = 0$,

где $\theta \in \mathbb{S}^{n-1}$, $x \in \mathbb{R}^n$ и известно, что $\lim\limits_{s\to-\infty} \varphi(x+s\theta) = 0$. Составляю отношение:

$ \frac{dx_{i}}{\theta_{i}} = \frac{d\varphi}{-a(x)}, \; i = 1,\ldots,n $

и, используя левую сторону равенства, получаю $n-1$ первый интеграл вида $\theta_{i}x_{j} - \theta_{j}x_{i} = const$. Проблема с получением последнего первого интеграла. В итоге должно получиться

$\varphi(x) = -\int\limits_{\mathbb{R}_{+}} a(x-s\theta) ds$.

[Oleg Zubelevich]

предположим $\theta_1\ne 0$ тогда общее решение имет вид

$$\varphi=-\frac{1}{\theta_1}\int_{x_1^0}^{x_1}a\Big(s,s\frac{\theta_2}{\theta_1}+x_2-x_1\frac{\theta_2}{\theta_1},\ldots,s\frac{\theta_n}{\theta_1}+x_n-x_1\frac{\theta_n}{\theta_1}\Big)ds+f(c_2,\ldots,c_n),\quad c_k=x_k\theta_1-x_1\theta_k,$$

стандартный метод характеристик: Степанов Курс дифференциальных уравнений. Если положить в интеграле $s=\theta_1\xi+x_1$ и взять $x_1^0=\infty,\quad f=0$ то получится Ваше решение