Затухающие колебания с атакой

[Lesobrod]

Затухающую синусоиду получаем из уравнения
$\ddot{x}+2\delta\dot{x}+{\omega}^2x=0$
Какой член )) добавить, чтобы синусоида начиналась не резко,
а с некоторым "сопротивлением", т.е. на огибающюю вида $e^{-\delta t}$
нужно наложить $1-e^{-\beta t}$, и это надо как-то отразить в уравнении.
Сам пытался честно, не догоняю.

[Dan B-Yallay]

Не совсем уверен, что понял задачу. Bероятно Вы ищете нечто вроде такого

$$\begin{align*} u &=e^{-\delta t}(1-e^{-\beta t})\sin \omega t \\ \dot u &= \dfrac d {dt} [e^{-\delta t}(1-e^{-\beta t})\sin \omega t] = -\delta e^{-\delta t}(1-e^{-\beta t})\sin \omega t + ... =\mathscr D_1\\ \ddot u & =\dfrac {d^2}{dt^2}[...]=...=\mathscr D_2\\ \ddot u+2\delta \dot u +\omega^2 u & = \underbrace{\mathscr D_2 +2\delta \mathscr D_1+ \omega^2 e^{-\delta t}(1-e^{-\beta t})\sin \omega t}_{\text {член ))}} \end{align*}\\$$

Естественно, в последней строке правую часть надо упростить. Тогда искомое уравнение бyдет иметь вид:

$$\ddot u+2\delta \dot u +\omega^2 u -\text{член}=0$$

[Lesobrod]

Да, но так появляется явная зависимость от времени, а мне бы очень хотелось её избежать.
Переформулирую задачу (возможен, кстати, еще один вид атаки).
Ищется дифур не выше второй степени, автономный,
но, возможно, нелинейный(!), имеющий частные решения вида
$e^{-\delta t}(1-e^{-\beta t})\sin \omega t $
или
$t^{n} e^{-\delta t}\sin \omega t $

[VPro]

Lesobrod в сообщении #482385 писал(а):

Да, но так появляется явная зависимость от времени, а мне бы очень хотелось её избежать.
Переформулирую задачу (возможен, кстати, еще один вид атаки).
Ищется дифур не выше второй степени, автономный,
но, возможно, нелинейный(!), имеющий частные решения вида
$e^{-\delta t}(1-e^{-\beta t})\sin \omega t $
или
$t^{n} e^{-\delta t}\sin \omega t $

Получить такое решение можно только с помощью внешнего возбуждения. Автономной системы с такими свойствами не существует. Посудите сами: с одной стороны точка $x=0, \dot x=0$ является положением равновесия, к тому же ассимптотически устойчивым, а с другой --- система "сама" в начальный момент времени из этого положения уходит.

[Lesobrod]

VPro в сообщении #482419 писал(а):

Получить такое решение можно только с помощью внешнего возбуждения. Автономной системы с такими свойствами не существует. Посудите сами: с одной стороны точка $x=0, \dot x=0$ является положением равновесия, к тому же ассимптотически устойчивым, а с другой --- система "сама" в начальный момент времени из этого положения уходит.

Спасибо, согласен. $+100$ ))
Хотел это от кого-то еще услышать, чтобы успокоится
Использую такие штуки для синтеза звука. Там "на ура" идут
разностные модели дифуров, а вот явная зависимость от времени приводит к непредсказуемым последствиям.
Кстати, для экспоненциальной атаки я придумал trick.
Прогоняется две рекуррентные системы, для $\delta$ и $\delta+\beta$ затуханий, а потом вычитаются. Получается отлично.
Но, говорят, что степенная атака лучше соответствует "натуре".
И вот как её в разностном, да еще автономном виде представить, даже не знаю..Повторюсь, нелинейности, системы уравнений и даже интегро-дифференциальные монстры пройдут, лишь бы без буковки $t$

[arseniiv]

Громкость имеет смысл «накладывать» отдельно от того, чем вы делаете колебания с постоянной амплитудой. Умножаете значения, которые получаются из моделирования дифура на зависящую от времени функцию-огибающую и всё! (А в дифур не их передаёте, а неумноженные, конечно.) Атака какая хотите, спад тоже как пожелаете, и что там ещё было… Такой способ не подходит?

[Lesobrod]

arseniiv в сообщении #482548 писал(а):

.. Атака какая хотите, спад тоже как пожелаете, и что там ещё было… Такой способ не подходит?

К сожалению, нет. Моделирование идет в реальном времени,
минимум $2 \times 44100 $ раз в секунду.
Никакие экспоненты и степени не годятся, только сложения и умножения.
Вот пример итераций синусоиды, затухающей по экспоненте $e^{-\delta t}$, но без таковой в явном виде:

$$ \begin{cases} x[i]=\frac{1-\delta}{1+\delta}*x[i-1]+\frac{\omega}{\sqrt{1+\delta}}*y[i-1]\\ y[i] = -\frac{\omega}{\sqrt{1+\delta}}*x[i]+y[i-1] \end{cases} $$

Причем корни здесь перевычисляются только при изменении параметра.
Нужно что-то подобное для атаки, т.е. нарастания, причем физически осмысленное,
без всяких там "дайте мне 6 параметров, и слон будет махать хоботом..."

(Оффтоп)

"Нужно", конечно, лично. Это некоммерческая тема, просто на старости лет хочу сделать реальный физический синтез звука.

[arseniiv]

Ну ведь как-то же делают.

Так не обязательно экспоненту. Можно эту огибающую чем угодно представить, хоть приближениями, хоть просто беря уровень громкости из массива. Хотя лучше советовать не буду, т. к. не разбираюсь.

[eugrita]

Господа, извините, что ввяз не совсем по делу. По делу - времени мало.
Но вот это прочтите ,смешно будет -термин изобрели "пенисоида"
http://www.proza.ru/2010/03/21/441