брахистохрона

[Oleg Zubelevich]

Может кого-нибудь заинтересует, функционал для минимизации в этой задаче вроде выписывается явно, а дальше я не смотрел.

В классической задаче о брахистохроне введем еще силу трения, которая по модулю пропорциональна квадрату скорости точки.

[alcoholist]

Олег! Уже выпишите сюда лагранжиан и проинтегрируйте уравнения движения. Любопытно.

[Oleg Zubelevich]

В вертикальной плоскости введем декартову систему координат $OXY$ так, что $OY$ направлена вертикально вверх.
Пусть $x(s),y(s)$ -- уравнение кривой $x,y$ -- возрастающие функции;

$$x(0)=0,\quad y(0)=h,\quad x(S)=0,\quad y(S)=a,$$

$s-$натуральный параметр: $x'^2+y'^2=1$
Уравнение движения: $m\ddot s=-mgy'(s)-k\dot s^2$. Подстановкой $\dot s=p(s)$ получаем уравнение Бернулли

[Oleg Zubelevich]

вот это:

Oleg Zubelevich в сообщении #480716 писал(а):

$x,y$ -- возрастающие функции;

я зря написал. Это a priori ни откуда не сдедует. Хотя наверное, правильно было бы предположить , что $x$ -- возрастает; $y$ -- убывает. $s\in[0,S],\quad \dot s(0)=0,\quad h,a,k>0$

[alcoholist]

чем штрих от точки отличается?

Лагранжиан выпишите:)

[Oleg Zubelevich]

штрих -- производная по $s$; точка -- производная по $t$.

$$L=\frac{1}{2}m\dot s^2-V;\quad V=mgy(s),\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot s}-\frac{\partial L}{\partial s}=-k\dot s^2$$