Номер из Демидовича 3630 (найти экстремум)

[burundu4ka]

Задание: найти значение экстремума и в какой точке.

$z=\frac{a x + b y + c}{\sqrt{x^2 + y^2 + 1}}$

И еще дано условие $a^2+b^2+c^2 \ne 0$

Первым этапом ищу стационарные точки. Беру частные производные по х и по у первого порядка и приравниваю их к нулю. После упрощения системы уравнений получаю:
$1. a y^2 - b x y - c x + a = 0.$
$2. b x^2 - a x y - c y + b = 0; $

И ничего дальше не получается. Пробовала х и у выражать и подставлять, но там очень громоздко получается и я всё равно не могу ничего найти. Вычитала одно из другого, делила друг на друга даже, но решения не вижу :( Помогите, пожалуйста. Заранее спасибо!

[ewert]

Сделайте перед дифференцированием поворот координатных осей: $u=\frac{ax+by}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $v=\frac{-bx+ay}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Тогда $x^2+y^2=u^2+v^2$ (поскольку это всё-таки поворот), и задача сразу резко полегчает.

[burundu4ka]

Извините, но я этого не знаю. И соответсвенно не понимаю о чем вы говорите.

Нас научили алгоритму, и номера должны решаться с его помощью, просто где-то "изюминка".

[ИСН]

Алгоритм - это у робота, у пчелы, у швеи и у слесаря-фрезеровщика. А математический пример надлежит решать с помощью математики и мозга.
Не нравится до дифференцирования, сделайте после - наверняка эффект будет тот же. Перейдите к новым переменным. К вот этим вот, да. Выразите старые через них.

[ewert]

Вот это и есть "изюминка", после которой всё получается уже очень просто.

Ладно, не хотите поворачивать -- сделайте примерно то же самое с теми уравнениями, которые получились у Вас. Вынесите из первых двух слагаемых в каждом уравнении за скобки $(ay-bx)$. Потом умножьте первое уравнение на $b$, второе на $a$ и вычтите одно из другого; результат сразу же распадётся на множители.

[burundu4ka]

Огромное спасибо! Дорешала :)

А насчет алгоритма, я не имела ввиду что мне как дали так и делать надо, я тоже считаю, что в принципе математика процесс творческий. Я подразумевала, что это можно решить на уровне моих знаний, а про поворот извините, еще не научилась :)

[yuriyu]

Друзья, извините, что бампаю мертвый тред.
Но не могли бы вы подсказать, какие соображения наводят на мысль повернуть оси именно на угол $\arcsin{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$?

[bot]

Дополнительный аргумент