СТО - Помогите разобраться с парадоксом близнецов (трёх)

[мат-ламер]

Пусть у нас есть две прямые, расположенные одна вдоль другой (т.е. у них общее геометрическое место). На одной прямой отмечены две точки - $A$ и $B$, у которых синхронизированы часы, и будем считать, что при этих точках находятся два близнеца одного возраста. На другой прямой отмечена точка $C$, в которой находится ещё один брат этих близнецов. Две прямые движутся друг относительно друга с постоянной скоростью. Допустим в какой-то момент времени точки $A$ и $C$ совпали. Мы в них можем синхронизировать часы и будем считать, что третий брат из точки $C$ имеет тот же возраст, что и первые два (т.е. все три - близнецы). Предположим, что движение прямых происходит таким образом, что точка $C$ движется в сторону точки $B$. Возникает вопрос - когда эти две точки совместятся, то какой из братьев (второй из точки $B$ или третий из точки $C$) будет старше. Если вторая прямая движется относительно первой, то на ней время замедляется и третий близнец помоложе будет. Если первая прямая движется относительно второй, то на ней время замедляется, и тогда моложе будет второй близнец. Получается противоречие с принципом относительности Галилея. Помогите разобраться, в чём тут дело.

[Durmstrang]

кто движется, тот и стареет
А процесс сравнивания возрастов происходит после остановки?

[мат-ламер]

Durmstrang в сообщении #480295 писал(а):

А процесс сравнивания возрастов происходит после остановки?

Хороший вопрос. А что, без остановки мы не можем сравнить возраст близнецов? Я предполагал, что прямые движутся постоянно без остановки друг относительно друга?

[EvilPhysicist]

Что-то немного запутался в условиях. Как я понял, они сводятся к тому, что есть два брата, в момент времени 0 их часы идёт синхронно, но братья находятся на некотором расстоянии друг от друга и один приближается к другому. И вопрос, какие будут показания их часов, когда они встретятся, так?

[мат-ламер]

EvilPhysicist в сообщении #480301 писал(а):

Что-то немного запутался в условиях. Как я понял, они сводятся к тому, что есть два брата, в момент времени 0 их часы идёт синхронно, но братья находятся на некотором расстоянии друг от друга и один приближается к другому. И вопрос, какие будут показания их часов, когда они встретятся, так?

Можно и так понимать.

-- Вс сен 04, 2011 20:42:25 --

Цитата:

и один приближается к другому

Точнее они двигаются навстречу друг другу. Кто приближается (движется), а кто неподвижен - непонятно.

[EvilPhysicist]

мат-ламер в сообщении #480303 писал(а):

Можно и так понимать.

Ок, формализуем. $c=1$, координаты $y,z$ отбрасываем. Траектория первого брата $ (t,0) $ второго $ (t,vt-\alpha) $. Тогда они встретятся, в $ t_0= \cfrac{\alpha}{v} $ по времени первого брата, ну и $t_0$ его возраст. Второй брат прошол путь $ ds^2 = t_0^2 - \alpha^2 $, которые в его системе $ ds^2 = \tau_0^2 $, тогда его возраст $ \tau_0= \sqrt{ t_0^2 - \alpha^2 } = t_0 \sqrt{1- v^2}< t_0 $. Второй млачше.

Перейдём в систему брата 2. Сначала сдвигом $ (t,0) \to (t, \alpha) $ для первого брата, $ (t, vt) $ для второго брата. А затем преобразования Лоренца с матрицей $ \begin{pmatrix} \gamma & -v \gamma \\ -v \gamma& \gamma \end{pmatrix} $. Тогда новые координаты второго брата $(t,0)$ а первого $ (\gamma(t - \alpha v) , \gamma(\alpha - vt)) $.
Тогда они встретятся в $ t_0 = \cfrac{\alpha}{v} $ по часам первого брата, что по часам второго $ \tau_0 = \gamma( t_0 - \alpha v ) = t_0 \gamma ( 1 - v^2 ) = t_0 \sqrt{1 - v^2} $, как и в первой системе.

Ни у собственно всё, парадокса нет.

[мат-ламер]

EvilPhysicist Спасибо за решение. Мне нужно некоторое время в нём разобраться. Итак, Вы доказали, что второй брат будет младше. Парадокс (по крайней мере для меня сейчас) состоит в том, что оба брата симметричны относительно друг друга, и нельзя сказать, который из них первый, а который - второй. С таким же успехом мы можем назвать второго брата первым, а первого вторым, и снова решить задачу. В классическом парадоксе близнецов близнецы не симметричны, а один из них разгоняется и замедляется. А тут полная симметрия.

[myhand]

мат-ламер в сообщении #480291 писал(а):

Мы в них можем синхронизировать часы и будем считать, что третий брат из точки $C$ имеет тот же возраст, что и первые два (т.е. все три - близнецы).

Это невозможно.

Разберитесь, пожалуйста, сперва с обычным парадоксом близнецов - вспомните как он формулируется и что именно кажется там "парадоксальным". После этого, возможно, Вы сумеете сформулировать то, что так сумбурно изложили выше, чтобы это выглядело "парадоксом" вообще и попросту задачей в частности.

[мат-ламер]

myhand в сообщении #480314 писал(а):

мат-ламер в сообщении #480291 писал(а):

Мы в них можем синхронизировать часы и будем считать, что третий брат из точки $C$ имеет тот же возраст, что и первые два (т.е. все три - близнецы).

Это невозможно.

С учётом предыдущего предложения:

Цитата:

Допустим в какой-то момент времени точки $A$ и $C$ совпали. Мы в них можем синхронизировать часы ...

В момент совпадения точек мы в обоих точках запускаем часы. Что-то недогоняю, почему невозможно?

[myhand]

мат-ламер в сообщении #480318 писал(а):

В момент совпадения точек мы в обоих точках запускаем часы. Что-то недогоняю, почему невозможно?

Вы наложили условие, что братья имеют одинаковый возраст. Увы, ежели их не рожали "в пробирке" - родились они в одной точке. Сперва им надо разъехаться, а потом съехаться вновь. Возраст двух братьев в точке $A$ - будет разный (см. "парадокс близнецов").

[мат-ламер]

Давайте вместо братьев рассматривать часы. Двое часов неподвижных относительно друг друга можно синхронизировать. Это описано в Сивухине. Один из методов. Для начала найдём среднюю точку между этими часами, а затем испустим из неё в обе стороны световой импульс. Теперь есть третьи часы, которые движутся в одномерном мире относительно первых двух. В момент когда первые и третьи часы проходят мимо друг друга, из первых часов в третьи высылается информация о показываемом времени и на третьих часах переводят стрелки до совпадения с первыми часами, и третьи часы стартуют. Таким образом синхронизированы все трое часов. Итак, синхронизированные третьи и вторые часы двигаются навстречу друг другу. Какие часы будут показывать большее время, когда они будут проходить мимо друг друга. С одной стороны ввиду симметрии кажется, что часы должны при встрече показывать одинаковое время. Однако, тут неожиданно появляются четвёртые часы и связь с классичексим парадоксом близнецов изложу в следующем посту.

(Оффтоп)

Поужинать надо.

Хотя насчёт симметрии есть сомнения.

-- Вс сен 04, 2011 23:10:36 --

Всё-таки насчёт симметрии у меня большие сомнения. Мы синхронизировали первые и вторые часы, а также первые и третьи. У меня большие сомнения, что выполняется транзитивность. Т.е. вряд-ли из этого следует, что синхронизированы вторые и третьи часы. Также вторые и третьи часы находятся в разных условиях (симметриии между ними не наблюдается) , поскольку первые часы по-разному относятся ко вторым и третьим часам. Можно ли задачу сформулировать полностью симметричным способом? Допустим рассмотреть случай, когда одна пара часов движется относительно другой пары? Надо подумать.

[мат-ламер]

Цитата:

Двое часов неподвижных относительно друг друга можно синхронизировать

Это я ерунду написал. Можно синхронизировать двое неподвижных часов.

[EvilPhysicist]

мат-ламер в сообщении #480338 писал(а):

У меня большие сомнения, что выполняется транзитивность

Нет, на сколько я что понимаю, если вы синхронизируете покоящиеся относительно друг друга часы, то отношение синхронности транзитивно.

И на сколько я понимаю вас смущает то, что на каком бы мы расстоянии не распологали часы, которые в начальный момент времени будут идти синхронно, то время замедляться будет только на одних, в чёём вам видится противоречие с тем, что они называются эквивалентными.

[epros]

Что тут сложного? В момент 0:
1) Братья A и C находятся в одной точке и имеют один возраст (в любых ИСО).
2) В ИСО братьев A и B возраст всех братьев одинаков.
3) Но в ИСО брата C возраст брата B больше.

Когда встретятся братья B и C, возраст брата B окажется чуть больше возраста брата C.

С точки зрения брата B: Это потому, что брат C двигался, т.е. старел медленнее.

С точки зрения брата C: Это потому, что хотя брат B и двигался, старея медленнее, но он уже изначально был старше.

Формулки самостоятельно можете вывести...

[myhand]

мат-ламер в сообщении #480338 писал(а):

С одной стороны ввиду симметрии кажется, что часы должны при встрече показывать одинаковое время.

Вот только "симметрии" в упор не видно.

мат-ламер в сообщении #480338 писал(а):

Мы синхронизировали первые и вторые часы, а также первые и третьи. У меня большие сомнения, что выполняется транзитивность.

Для процедуры синхронизации, как минимум, требуется выполнение "синхронны сейчас - синхронны потом". У Вас этого не наблюдается.

epros в сообщении #480407 писал(а):

1) Братья A и C находятся в одной точке и имеют один возраст (в любых ИСО).
2) В ИСО братьев A и B возраст всех братьев одинаков.

Теперь Вы не поняли, почему это бред. Объяснять снова? :)