Разложить произведение в сумму

[purser]

Сижу, туплю...помогите, пожалуйста!)

$$\prod_{k=1}^{n-1}(x^k-1)$$

[ИСН]

Это обратная производящая функция для числа разбиений (см. здесь http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html, формула 6 и далее), только обрезанная и наоборот.

[purser]

Спасибо.
В моей задаче $x$ - это примитивный корень n-й степени из 1,
а все его степени соответственно - элементы циклической группы корней.
Должна получиться простая формула. Пока не пойму, как ((

[ИСН]

Тьфу ты чёрт. Это совершенно меняет дело и лишает смысла мой предыдущий комментарий.

-- Сб, 2011-09-03, 23:58 --

Тогда, значит, так. Подумайте про многочлен от z такого вида: $\prod\limits_{k=0}^{n-1}(z-\varepsilon^k)$. ($\varepsilon$ - это Ваше x; просто привык так называть. Обратите внимание, что пределы не те - у этой штуки на один сомножитель больше, чем у Вашей.) Что это за многочлен? Можно ли его упростить? Как с ним связано искомое число? Не предел ли это чего-то, делённого на что-то, при чём-то, стремящемся куда-то? Не запуталась ли там бабушка с водолазом производная?

[purser]

Это многочлен, корнями которого являются элементы группы и только они, причем все корни кратности 1. Следовательно, $\prod\limits_{k=0}^{n-1}(z-\varepsilon^k)=z^n-1$
Я в правильном направлении ?

[ИСН]

Да. Валяйте дальше.

[purser]

Этот многочлен в точке 1 принял бы искомое значение, если бы не первый множитель
$(z-\varepsilon^0)$

-- Вс сен 04, 2011 20:49:24 --

Дальше прошу помощи

[ИСН]

Хорошо, рассмотрите тот многочлен, который нужен - без первого множителя. Можно ли его свернуть в красивый вид? Нет? А если посмотреть, чем он (тот многочлен) отличается от этого (от $z^n-1$)?

[purser]

Вы имеете ввиду $(z^n-1)/(z-1)$ ? Это-то я усек.

[ИСН]

Да, это. Дальше два способа. Один состоит в том, чтобы тупо поделить. Но это надо... в общем, попробуйте. Другой - оставить как есть и вычислить предел в 1 с помощью методов вычисления пределов.

[purser]

По Лопиталю:
$\lim_{z \to 1}(z^n-1)/(z-1)=n$

[ИСН]

Ну вот.

-- Вс, 2011-09-04, 22:32 --

Знак.

[purser]

А что со знаком?)

-- Вс сен 04, 2011 21:39:10 --

Изначально задача была такая.
Правильный n-угольник вписан в единичную окружность.
Доказать, что произведение расстояний от одной вершины до остальных целое число,
и найти это число.

-- Вс сен 04, 2011 21:41:05 --

Теперь, понятно, это число n.
Спасибо Вам большое, ИСН )

[ИСН]

Если в такой формулировке, то со знаком всё в порядке - его нет и не надо. Вот если как в Вашем первом посте... ну да неважно.

[Sefko]

purser в сообщении #480332 писал(а):

По Лопиталю:
$\lim_{z \to 1}(z^n-1)/(z-1)=n$

Задолго до того, как в Вашей жизни появился Лопиталь, в ней же случилось знакомство с формулой для геометрической прогрессии. Мне кажется, что если бы Вы ее вовремя вспомнили, то и ветки этой не потребовалось бы.