Интересное неравенство

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума..Доказывали олимпиадное неравенство, но в доказательстве использовали знания из высшей школы..Хотелось бы увидеть более менее "школьное" доказательство вот этого неравенства :

$$ a + b + c \leqslant \frac {a^2 + b^2} {2c} + \frac {b^2 + c^2} {2a} + \frac {c^2 + a^2} {2b} \leqslant \frac {a^3} {bc} + \frac {b^3} {ac} + \frac {c^3} {ab} $$

[SpBTimes]

что-то не нудно не получается.

[Himfizik]

Решите вспомогательную задачу: пусть даны две тройки положительных чисел $a_1,a_2,a_3$ и $b_1,b_2,b_3$. Теперь рассмотрим сумму $S=a_1b_k+a_2b_l+a_3b_m$. Здесь $k,l,m$ - это цифры $1,2,3$, записанные в Бог знает каком порядке. Ставится вопрос: какой должен быть порядок этих цифр, чтобs $S$ была: 1)наибольшей, 2)наименьшей из возможных.
Решив эту простую устную задачу (школьник справится), несложно получить ответ и для Вашей задачи (подумайте как).

P.S. Я так понял, $a,b,c$ - произвольные положительные числа.

[Himfizik]

Разумеется, выбрать какое из чисел $a_i $ и $b_j$ самое большое, а какое самое маленькое нужно заранее (можно представить это все цепочкой неравенств)? Очевидный ответ представить словами.

[MrDindows]

Вот вам чисто школьное доказательство:
Первое неравенство.
Применяем только неравенством между средними:
$x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}$

$$(\frac{a^2}{c}+a+c)+(\frac{a^2}{b}+a+b)+(\frac{b^2}{c}+b+c)+(\frac{b^2}{a}+b+a)+(\frac{c^2}{b}+c+b)+(\frac{c^2}{a}+c+a) \ge 3a+3a+3b+3b+3c+3c$$

Сократив подобное, получим искомое неравенство.

Второе неравенство.
Применяем только неравенством между средними:
$x+y+z+t \ge 4\sqrt[4]{xyzt}$
Домножим всё наше неравенство на $8abc$
$8(a^4+b^4+c^4) \ge 4(a^3b+a^3c+b^3a+b^3c+c^3b+c^3a)$

$(a^4+a^4+a^4+b^4)+... \ge 4a^3b+...$

А вообще, на нормальном школьном олимпиадном уровне, данные неравенства очевидные из перестановочного неравенства.

[sergei1961]

перестановочным неравенством Вы какое называете?

[MrDindows]

sergei1961 в сообщении #480353 писал(а):

перестановочным неравенством Вы какое называете?

Его же и называю.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Перестановочное_неравенство

[Himfizik]

А я хотел немного другое предложить. Возьмем две упорядоченные тройки чисел $a^2,b^2,c^2$ и $1/a,1/b,1/c$. Поскольку числа положительные, самое большое из чисел первой тройки отвечает самому маленькому из второй, и наоборот. Следовательно, для данных троек сумма: $S=a^2 \cdot \frac 1 a+b^2 \cdot \frac 1 b+c^2 \cdot \frac 1 c$ является минимальной, то есть можем потребовать выполнения следующих неравенств:$a^2 \frac 1 a+b^2 \frac 1 b+c^2 \frac 1 c \leq a^2 \frac 1 b+b^2 \frac 1 c+c^2 \frac 1 a$ и $a^2 \frac 1 a+b^2 \frac 1 b+c^2 \frac 1 c \leq a^2 \frac 1 c+b^2 \frac 1 a+c^2 \frac 1 b$. Складывая эти два неравенства, получаем первую часть заявленного двойного неравенства. Для доказательства второй части можно рассмотреть вот такие тройки чисел: $a^3,b^3,c^3$ и $a/abc,b/abc,c/abc$ с тем лишь отличием, что придется использовать максимальность суммы (наибольшему из чисел первой упорядоченной тройки соответствует также наибольшее из второй).

Полагаю, что это неравенство можно было бы доказать и способом Мюрхеда. Но это наверное чуть выше школьного уровня.

[TOTAL]

Левое нер-во следует из $\displaystyle 2a \le a\left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right)$ и $\displaystyle \frac{2ac}{b} \le \frac{a^2 + c^2}{b}$

Правое нер-во следует из $\displaystyle a^2+b^2 = a^2\frac{a}{b}+b^2\frac{b}{a} - \frac{(a-b)(a^3-b^3)}{ab} \le a^2\frac{a}{b}+b^2\frac{b}{a}$

[sergei1961]

Класс! А перестановочное неравенство я привык называть Харди-Литтвульдом. Хотя это точное по смыслу название.