Система квадратных уравнений

[ilgust]

Здравствуйте, необходимо решить систему квадратных уравнений вида:

$x^2+y=a$
$y^2+x=b$

Частный случай $a=31$, $b=41$

Я попробовал выразить $y$ через $x$ ($y=31-x^2$), получилось

$(31-x^2)^2+x=41$, что дает
$x^4-62x^2+x+920=0$ - уравнение четвертой степень - не очень здорово

Я чувствую, что это частный случай систем квадратных уравнений и есть более простое и изящное решение, помогите, пожалуйста

[gris]

В частном случае можно увидеть решение $(5,6)$, перейти к кубическому.
Если решения нужны целочисленные, то пары-кандидаты получались бы из разложения разности левых частей на множители.

[ilgust]

Так, а если, например, не видеть решения (5,6), через формулы можно как то?

-- 31.08.2011, 00:06 --

gris в сообщении #479099 писал(а):

Если решения нужны целочисленные, то пары-кандидаты получались бы из разложения разности левых частей на множители.

Вот с этого места можно поподробней?

[SpBTimes]

ilgust в сообщении #479100 писал(а):

через формулы можно как то?

Боюсь, что если мы решаем систему не в целых числах, то нет

-- Вт авг 30, 2011 23:08:26 --

ilgust в сообщении #479100 писал(а):

Вот с этого места можно поподробней?

$x^2 - y^2 -(x - y) = a - b$
$(x - y) \cdot (x + y - 1) = a - b$
Число $a - b$ нужно разбивать на различные множители и смотреть варианты

[ilgust]

Правильно ли я понял, если a=31, b=41:
Вычитаем второе уравнение из первого:
$x^2+y-y^2-x=31-41$
засовываем в скобки
$x^2-y^2-(x-y)=-10$
раскладываем $x^2-y^2 $ на $(x-y)(x+y)$ получается
$(x-y)(x+y)-(x-y)=-10$
выносим $x-y$ за скобку
$(x-y)(x+y-1)=-10$

теперь смотрим, значит это должно быть либо -1*10, либо 1*(-10), либо -2*5, либо 2*(-5)

Если -1*10, то
$x-y=-1$
$x+y-1=10$
Решаем систему получаем x=5, y=6, подставляем в исходную систему, получается
$5^2+6=31$
$6^2+5=41$

Все сходится

При проверке 1*(-10) и оставшихся исходная система не сходится (например, при x=6, y=5, 6^2+5 не равно 31), т.е. отбрасываем их, остается только один вариант x=5, y=6

Ничего не пропустил?

[SpBTimes]

ilgust в сообщении #479110 писал(а):

теперь смотрим, значит это должно быть либо -1*10, либо 1*(-10), либо -2*5, либо 2*(-5)

Либо $10 \cdot (-1)$, либо $(-10) \cdot 1$, либо ....

[Someone]

$$\begin{cases}x^2+y=a,\\ y^2+x=b.\end{cases}$$

Выражая из первого уравнения $y$ и подставляя во второе, получим уравнение четвёртой степени:

$$x^4-2ax^2+x+a^2-b=0.$$

Далее преобразуем это уравнение так:

$$x^4+2zx^2+z^2-2(a+z)x^2+x+a^2-z^2-b=0,$$

$$(x^2+z)^2-(2(a+z)x^2-x+z^2-a^2+b)=0.$$

Подберём теперь параметр $z$ так, чтобы квадратный трёхчлен во второй скобке был точным квадратом. Для этого его старший коэффициент должен быть положительным, а дискриминант – равным $0$, то есть,

$$\begin{cases}z+a>0,\\ 8(z+a)(z^2-a^2+b)-1=0.\end{cases}$$

Основная проблема – это решение уравнения третьей степени. Можно попытаться подобрать рациональные корни этого уравнения, если они есть.

Правило подбора рациональных корней уравнения с целыми коэффициентами. Рациональные корни уравнения

$$a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n=0$$

($a_0\neq 0$, $n>0$) имеют вид $x=\pm\frac pq$, где $p$ – делитель свободного члена $a_n$, $q$ – делитель старшего коэффициента $a_0$.

[ilgust]

SpBTimes в сообщении #479112 писал(а):

ilgust в сообщении #479110 писал(а):

теперь смотрим, значит это должно быть либо -1*10, либо 1*(-10), либо -2*5, либо 2*(-5)

Либо $10 \cdot (-1)$, либо $(-10) \cdot 1$, либо ....

Ой, правда!

К счастью, там тоже не удовлетворяют исходной системе, уже на первом уравнении $x^2+y=31$

Значит варианты для $(x-y)$ и $(x+y-1)$ при a=31, b=41
1, -10
-1, 10 (единственный, удовлетворяющий исходной системе)
10, -1
-10, 1
2, -5
-2, 5
5, -2
-5, 2

Ничего не пропустил?

Someone, спасибо большое, но это слишком страшно Думаю, стоит ограничиться частным случаем a=31, b=41, тогда просто перебираем множители, так?

[Someone]

Целые решения Вы нашли все (оно одно), но есть ещё три не целых (но действительных)… Или Вам только целые решения нужны?

[ilgust]

Someone в сообщении #479124 писал(а):

Целые решения Вы нашли все (оно одно), но есть ещё три не целых (но действительных)…

"Огласите весь список, пжалуйста" (C)

[Someone]

Я сейчас проверил. У того кубического уравнения, которое нужно решить в указанном мной методе ($8z^3+248z^2-7360z-228161=0$), рациональных корней нет.

С другой стороны, gris Вам советовал, найдя корень $x=5$, от Вашего уравнения четвёртой степени ($x^4-62x^2+x+920=0$) делением на $x-5$ перейти к кубическому ($x^3+5x^2-37x-184=0$). Но у него тоже нет рациональных корней.

ilgust в сообщении #479128 писал(а):

"Огласите весь список, пжаласта" (C)

Для иррациональных корней указаны, естественно, приближённые значения.
$x=5,\ y=6$
$x\approx-4{,}9217316558553939016,\ y\approx 6{,}7765575077509224884$
$x\approx 6{,}0753361459889169304,\ y\approx-5{,}9097092867594665692$
$x\approx-6{,}1536044901335230288,\ y\approx-6{,}8668482209914559192$
Уравнение для параметра $z$ имеет такие корни: $z_1\approx 30{,}331535373324317937$, $z_2\approx-30{,}996937033152430752$, $z_3\approx-30{,}334598340171887184$.

[ilgust]

OK, большое спасибо, очень информативно Пока ограничимся целыми корнями

[gris]

Интересно подойти к вопросу графически. Мы имеем две параболы с осями координат в качестве осей. Двигая их вдоль осей (то есть меняя параметры $a$ и $b$), можно наглядно увидеть, каким может быть число решений. Ну это так, для баловства