Как правильно определить "подкрученную" производную?

[Leox]

В классическом случае из следующего задания оператора производной на многочленах $ - $ $D(x^n)=n x^{n-1}$ можно доказать, что для любой функции $f(x)$ производная задается как предел отношения приращений функции и аргумента. Предположим, я хочу немного изменить действие оператора производной, а именно, пусть $D_{\mu}(x^n)=\dfrac{n}{1+\mu n} x^{n-1}.$

Вопрос: как действует оператор $D_{\mu}$ на произвольную функцию $f(x)$?

[Vince Diesel]

Для функций, которые раскладываются в ряд Маклорена, и $\mu>0$

$$ D_\mu f(x)=\frac d{dx}\int_0^1f(t^\mu x)\,dt=\int_0^1 f'(t^\mu x)t^\mu\,dt. $$

[Leox]

Спасибо, идею как связать $\mu$ и $n$ понял..хотя там по-моему все таки должно быть где-то так

$$ D_{\mu}f(x)=\int_{0}^1 f'(t^{\mu} x) dt $$

[Vince Diesel]

Тогда получится $D_\mu x^n=\frac n{1+(n-1)\mu}$.

[Leox]

А у меня так получается

$$ D_{\mu}(x^n)=\int_{0}^1 n x^{n-1} t^{\mu n} dt= n x^{n-1} \int_{0}^1 t^{\mu n} dt= \dfrac{n}{\mu n+1} x^{n-1}. $$

[Vince Diesel]

Чтобы так получилось, нужен как раз дополнительный множитель $t^\mu$. А по формуле $D_{\mu}f(x)=\int_{0}^1 f'(t^{\mu} x) dt$ получится, например, $D_\mu x=\int_0^1 dt=1$.

[alcoholist]

Кстати, интеграл можно один раз по частям взять

[Leox]

Vince Diesel в сообщении #478807 писал(а):

А по формуле $D_{\mu}f(x)=\int_{0}^1 f'(t^{\mu} x) dt$ получится, например, $D_\mu x=\int_0^1 dt=1$.

Туплю наверное, но у меня так получается

$$ D_\mu x=\int_0^1 (t^{\mu}x)'_{x} dt=\int_0^1 t^{\mu} dt=\dfrac{1}{\mu+1}. $$

[Vince Diesel]

Если $f(x)=x$, то $f'(y)\equiv1$, в частности, $f'(t^\mu x)=1$. А если брать частную производную по $x$ от функции двух переменных, то получится та формула, что я написал.

[Leox]

Vince Diesel в сообщении #478837 писал(а):

Если $f(x)=x$, то $f'(y)\equiv1$, в частности, $f'(t^\mu x)=1$.

Кажется мы по разному понимаем обозначения, я бы так ето написал $f'(x) \big|_{x=y} \equiv 1$ но $f'(y)=0.$