Симетрии (теорема Нётер)

[bdfn]

Как я понимаю из теоремы Нётер следует что всякой симметрии соответствует сохраняющаяся величина (интеграл) , если к примеру взять шар то симметрии относительно вращения в уравнениях движения будет соответствовать интеграл, но что если мы возьмем неоднородный трехосный эллипсоид там такого рода симметрий нету тогда и получается не будет интегралов в уравнениях движения? За исключением конечно интегралов связанных с однородностью, изотропностью пространства и однородностью времени. А возможны ситуации когда и эти симметрии нарушаются, например в ото при искривлении пространства возможно гипотетически ситуация когда исчезнет одна симметрия?

[VladimirKalitvianski]

Если под сохраняющейся величиной понимать комбинацию динамических переменных (координат и скоростей), не зависящую от времени, то таких комбинаций (интегралов движения) всегда ровно столько, сколько есть независимых начальных данных. Об этом ясно написано у Ландау-Лифшица в первом томе. Но такие комбинации, вообще говоря, не являются аддитивными по частицам, входящим в динамическую систему.

Многие симметрии делают возможным составление аддитивных по частицам интегралов движения. Тот же закон сохранения полного импульса - не смотря на взаимодействие частиц и переменность во времени каждого импульса, их сумма от времени не зависит. Симметрии, таким образом, означают просто упрощение записи общих (не аддитивных) интегралов движения. Теорема Нетер показывает, как такие интегралы движения можно формально записать, если известен Лагранжиан системы. При этом сами решения могут быть еще не известны.

Комбинация интегралов движения есть тоже интеграл движения, так что их вид не определен однозначно.

По существу, наличие интегралов движения обеспечивается существованием решений у динамической системы. Есть решения, есть и интегралы движения. Короче, все можно получить из уравнений, а не только из теоремы Нетер.