Система уравнений

[Verka-Serdyuchka]

Для каждого натурального n найти все решения (относительно вещественных переменных x и y) системы уравнений
$x^{n^2+n+1}+y^{n^2+n+1}=x^{n^3+n}+y^{n^3+n}=1$

[Руст]

$n^3\not =n^2+1$ , т.е. степени отличаются. Очевидно в этом случае один из $x,y$ равен 0.

[Verka-Serdyuchka]

Руст в сообщении #477789 писал(а):

$n^3\not =n^2+1$ , т.е. степени отличаются. Очевидно в этом случае один из $x,y$ равен 0.

Так уж и очевидно?

[ewert]

Verka-Serdyuchka в сообщении #477792 писал(а):

Так уж и очевидно?

Нарисуйте оба графика -- и всё станет очевидным. Для формального обоснования при $x>0,y>0$ достаточно, например, выписать $\frac{\partial y(x,z)}{\partial z}$ из уравнения $x^z+y^z=1$ (она окажется очевидно знакоопределённой), а при $xy<0$ всё совсем очевидно из-за несовпадения монотонностей.