предел интеграла

[SpBTimes]

Помогите, пожалуйста, вычислить вот такой интеграл. Обычным Лопиталем не помогает, пробовал брать по частям и затем выуживать интегральные суммы - тоже ерунда.
$\lim_{a \to \infty } \int_0^{2010} \sqrt{x\cdot(1+\cos(a\cdot x))}dx$

[xmaister]

Сделайте замену $y=ax$, после этого Ваш интеграл примет вид $\frac1{a}\int\limits_0^{2010a}\sqrt{\frac{y}{a}(1+\cos y)}dy=\frac1{a}\int\limits_0^{T[\frac{2010a}{T}]}\sqrt{\frac{y}{a}(1+\cos y)}dy+O(\frac1{a})=$ $\frac1{a}\sum\limits_{0}^{[\frac{2010a}{T}]-1}\sqrt{\frac{kT}{a}}\int\limits_{kT}^{(k+1)T}\sqrt{(1+\cos y)}dy+O(\frac1{a})+o(1)$
$T$- период $\sqrt{1+\cos y}$
Далее получите интегральную сумму Римана.

[SpBTimes]

xmaister
была описка, исправил, спасибо

[xmaister]

Если нигде не наврал, то должно быть так.

[SpBTimes]

xmaister
Спасибо большое! Не догадался использовать периодичность корня, пытался его вместо этого оценивать

-- Ср авг 24, 2011 20:18:50 --

Только $o(1)$ у вас откуда вылезло? $O(\frac{1}{a})$ понятно - взятие целой части, а малое?

[xmaister]

$|\sqrt{\frac{y}{a}}-\sqrt{\frac{kT}{n}}|<\varepsilon$ для любого $y\in[kT,(k+1)T]$
отсюда и $o(1)$.