2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Устойчивость решений системы линейных уравнений
Сообщение24.08.2011, 11:23 


24/01/09
833
Украина, Днепропетровск
Народ, два вопроса.

1. Есть полная СЛАУ A x = B.
К элементам матрицы А и/или B добавляются некоторые "ошибки".
Что можно сказать об отличии получившихся значениях корней x' от исходных x, насколько велик будет их уход и от чего зависит.

2. Есть переопределённая СЛАУ (число уравнений больше числа неизвестных) с внесёнными "ошибками".
2.1 Какие есть методы оценки значений корней "настоящей", без ошибок системы уравнений кроме метода наименьших квадратов?
2.2 Аналогично п. 1., моэно ли при этом оценить отличие полученных корней x' от "настоящих" и исходя из чего.

Расскажите, если можно, или подскажите какую-то хорошую литературу, жалательно доступную в Сети.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость решений системы линейных уравнений
Сообщение24.08.2011, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2738
Уфа
1. Если в общем, то Вам нужен учебник по линейной алгебре (или вычислительной линейной алгебре). К моему удивлению, у меня под рукой сейчас не оказалось простого учебника. Есть очень хороший, но уровнем повыше: Деммель Д. Вычислительная линейная алгебра.
Если совсем конкретно, то Вам нужно изучить понятия нормы матрицы (для оценки абсолютной погрешности) и её числа обусловленности (для оценки относительной погрешности) — такое легко нагуглить (у Деммеля в самом начале тоже можно почитать, ничего сложного).

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость решений системы линейных уравнений
Сообщение24.08.2011, 13:28 


02/04/11
956
Theoristos
По-моему, это подробно обсуждается в любом учебнике по численным методам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость решений системы линейных уравнений
Сообщение25.08.2011, 09:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6951
Москва
1. Для оценки влияния возмущений в B обычно используют сингулярное разложение. Отношение максимального к минимальному из сингулярных чисел есть число обусловленности, оно показывает "усиление" ошибки в B в качестве погрешности решения уравнений.
Для оценки влияния возмущений в А можно представить матрицу коэффициентов в виде суммы точной и матрицы возмущения и разложить обратную матрицу в ряд. Или опять же сингулярными числами оперировать.
2. Метод наименьших модулей, например. Или минимизация максимальной невязки. В обоих случаях можно свести к задаче линейного программирования. В принципе, через двойственные оценки для ограничений, в которых стоит равенство элементам B, можно получить влияние на решение возмущений в B, но как-то надёжнее монтекарлить, давая случайные возмущения и смотря на распределение соответствующих решений.
А проще всего получать такие оценки для МНК. Описание "оценок ошибок коэффициентов регрессии" есть в любом учебнике по матстатистике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость решений системы линейных уравнений
Сообщение28.08.2011, 17:54 


24/01/09
833
Украина, Днепропетровск
Спасибо всем кто ответил, особенно Санитару Жене :-)

Задача не моя, мне тоже казалось, что МНК вполне подходящ, но те кто спрашивал столкнулись с большими уходами результатов при вводе "шума" в матрицу.

Всё-таки был бы рад получить какую-то сылку на хороший "учебнике по численным методам". К сожалению, по ссылкам worm2 прочитать из древнего firefox-а не получается, да и нужно будет в тексте не только разобраться, но и показать тем, кто спрашивал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость решений системы линейных уравнений
Сообщение28.08.2011, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6951
Москва
Я бы предположил наличие мультиколлинеарности (линейной зависимости, точной или приближённой, между независимыми переменными).
Тогда либо поменять регрессоры (исключив часть или перейдя к слаокоррелированным их линейным комбинациям), либо "загрубить", используя методы регуляризации

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group